Теорема додавання швидкостей

Лекція № 5.

Тема 4. КІНЕМАТИКА СКЛАДНОГО РУХУ ТОЧКИ

Основні поняття

Рух точки називається складним, якщо вона одночасно бере участь у декількох рухах. Нехай тіло рухається відносно нерухомої системи координат , а по тілу рухається точка . Рух точки є складним.

На тілі виберемо систему координат , жорстко зв’язану з цим тілом. Система координат – рухома (рис. 4.1).

Рух точки відносно нерухомого тіла, на якому вибрана нерухома система координат , будемо називати абсолютним рухом. При цьому русі точка має абсолютну швидкість і абсолютне прискорення .

Рух точки відносно рухомої системи координат (тобто відносно рухомого тіла ) будемо називати відносним рухом. При цьому русі точка має відносну швидкість і відносне прискорення .

Рух тіла разом з системою координат відносно нерухомої системи координат є для точки переносним рухом, а швидкість і прискорення тієї точки тіла , де в даний момент часу знаходиться точка , називається переносною швидкістю і переносним прискоренням .

Основною задачею кінематики складного руху точки є встановлення залежності між швидкостями і прискореннями в двох системах координат: нерухомій і рухомій.

Рівняння руху точки

Нехай точка одночасно здійснює рух відносно нерухомої і рухомої системи координат. Як видно з рисунка 4.1, рівняння руху точки в векторній формі можна записати наступним чином:

. (4.1)

Радіус-вектор описує рух точки відносно нерухомої системи координат; радіус-вектор описує рух точки відносно рухомої системи координат; радіус-вектор описує рух точки (початку рухомої системи координат) відносно нерухомої системи координат.

Радіус-вектор точки можна представити в наступному вигляді:

, (4.2)

де , , – координати точки в рухомій системі координат ; , , – одиничні орти рухомої системи координат.

При русі точки її координати , , змінюються, тобто вони є функціями часу:

; ; . (4.3)

Рівняння (4.3) є рівняннями відносного руху точки .

Початок рухомої системи координат може переміщатися відносно нерухомої системи координат, тому

. (4.4)

Якщо тіло здійснює обертальний рух навколо точки , то рухома система координат також обертається і напрями одиничних ортів змінюються. Отже, у загальному випадку, одиничні орти є функціями часу:

, , . (4.5)

Рівняння (4.4) – (4.5) характеризують переносний рух рухомої системи координат.

З урахуванням (4.1) рівняння руху точки можна записати у вигляді

. (4.6)

Теорема додавання швидкостей

Теорема. При складному русі точки її абсолютна швидкість дорівнює геометричній сумі відносної і переносної швидкостей

. (4.7)

Доведення. Нехай точка здійснює складний рух. Візьмемо похідну по часу від виразу (4.6), врахувавши при цьому залежності (4.3), (4.4) і (4.5)

. (4.8)

Так як характеризує абсолютний рух точки , то – абсолютна швидкість точки . Перший доданок, виділений дужками в правій частині, враховує рух рухомої системи координат відносно нерухомої, – переносна швидкість . Другий доданок, виділений дужками, враховує рух точки відносно рухомої системи координат, – відносна швидкість .

Теорема доведена.

, (4.9)

, (4.10)

де – швидкість точки – початку рухомої системи координат відносно нерухомої.

Розглянемо окремо вираз (4.9) для переносної швидкості . У виразі (4.9) зустрічаються похідні по часу від одиничних ортів. Встановимо, чому дорівнюють похідні по часу від одиничних ортів. Ці похідні залежать від виду руху тіла і пов’язаної з ним системи координат:

1. Нехай тіло здійснює поступальний рух. Тоді одиничні орти , , є постійними величинами, тому вираз (4.9) прийме вигляд . Таким чином, при поступальному русі рухомої системи координат переносна швидкість точки дорівнює швидкості точки – початку рухомої системи координат.

2. Нехай відносно нерухомої точки система координат здійснює обертальний рух ().Швидкість точки тіла, яке обертається відносно осі з кутовою швидкістю рівна , де (рис. 4.2). Звідки маємо

. (4.11)

Нехай рухома система координат , закріплена тільки в одній точці , обертається навколо осі (миттєвої осі обертання) з кутовою швидкістю (рис. 4.3). Аналогічно виразу (4.11) маємо:

, , , (4.12)

де – кутова швидкість переносного руху. Підставивши вираз (4.12) в (4.9), маємо: . Або

. (4.13)

Таким чином, якщо переносний рух є обертальним, то переносна швидкість точки знаходиться за формулою Ейлера (4.13).

3. В загальному випадку, якщо точка рухається зі швидкістю , а рухома система координат обертається навколо точки , то переносна швидкість точки знаходиться з формули.

. (4.14)

Формула (4.7) виражає правило паралелограма швидкостей. Відносна і переносна швидкості можуть бути напрямлені під різними кутами одна до одної. Модуль абсолютної швидкості точки у загальному випадку визначається за формулою:

. (4.15)