Основные этапы формализации при построении математической модели

Под термином «формализация» понимают процесс перехода от системы к модели, т.е. от существующего или проектируемого ма­териального объекта к объекту абстрактному. Корректность форма­лизации сказывается на степени достоверности модели и, следова­тельно, на качестве исследования. Трудности формализации за­ключаются в выборе наиболее рациональных и эффективных ма­тематических схем и в процессе перехода от инженерного языка описания объекта к формальному языку описания модели.

Практически сложились три этапа формализации [1]:

1) составление содержательного описания, в которое входят ос­новные сведения об изучаемом объекте или процессе, постановка задачи исследования, определение цели моделирования и перечень исходных данных;

2 ) составление формализованной схемы системы. Это промежу­точный этап согласования двух языков описания системы: инженерного и математического. Он необходим в сложных случаях, когда не представляется возможным перейти к получению матема­тической модели непосредственно по содержательному описанию;

3) разработка математической модели, т.е. запись в аналитиче­ской форме всех соотношений формализованной схемы с использо­ванием определенных математических схем.

Содержательное описание в словесной форме концентрирует сведения о физической природе и количественных характеристиках исследуемого объекта или процесса. Его автор — инженер, пред­ставитель коллектива, разрабатывающего объект или процесс. Со­держательное описание составляется по результатам наблюдения за системой (если она существует) или по опыту эксплуатации похо­жих систем (если система проектируется). Помимо сведений, непо­средственно характеризующих процесс, в описание включается постановка задачи, определяющей цели моделирования. Она может не иметь строгой математической формулировки, однако должна содержать четкое изложение идеи исследования, перечень зависи­мостей, подлежащих оценке, и факторы, которые необходимо учи­тывать при построении модели.

Содержательное описание часто называют концептуальной мо­делью системы.

Формируя содержательное описание, следует помнить, что про­цесс функционирования системы понимается как последовательная смена ее состояний в некотором интервале времени . Со­стояния системы в каждый момент  характеризуются на­бором величин . Величины , определяющие процесс функционирования системы, называют характеристиками состояний. Моменту времени  соответст­вует начальное состояние с характеристиками (начальными усло­виями) . На вход системы могут поступать входные сигналы . Они влияют на изменение состояний сис­темы. Кроме того, функции  могут зависеть от некоторого числа постоянных величин — параметров. Система формирует выходные сигналы , полностью определяемые ее состояниями. Так, для электрического колебательного контура характеристиками состояний служат заряд конденсатора и ток в цепи, а параметрами — величины емкости и индуктивности.

Следовательно, кроме постановки задачи в содержательное описание должны быть включены исходные данные, характеризующие параметры и начальные условия. Описание представляется в виде схем, текстов, формул и таблиц.

На этапе содержательного описания следует [2].

1) убедиться, что задача существует и ее целесообразно решать; сформулировать и оценить сложность задачи и возможность ее разбиения на подзадачи;

2) выбрать приоритеты решения подзадач и возможные методы их решения;

3) обосновать требования к ресурсам ЭВМ, на которой должно выполняться моделирование, и оценить трудоемкость моделирования;

4) провести анализ задачи, для этого: выбрать и определить параметры и переменные, предложить возможные критерии интерпретации результатов

моделирования,

предложить методы проверки модели;

5) приступить к сбору информации.

При отсутствии конкретных знаний о некоторых составляющих задачи приходится ставить эксперименты, выдвигать гипотезы и предположения.

Формализованная схема разрабатывается совместно инжене­рами и математиками в тех случаях, когда невозможен прямой пе­реход к математической модели (в основном из-за сложности ис­следуемой системы). На этом этапе необходимо уточнить характе­ристики объекта или процесса, установить систему параметров, строго определить все зависимости между характеристиками и параметрами с учетом тех факторов, которые принимаются во вни­мание при формализации, дать точную математическую формули­ровку задачи исследования с указанием окончательного перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей. К формализован­ной схеме прилагается систематизированная и уточненная совокупность всех исходных данных, известных параметров процесса и начальных условий. Эти величины могут оставаться в виде таблиц или графиков, но должны быть полностью выяснены все вопросы, связанные с интерполяцией и экстраполяцией экспериментального материала.

Для перехода от содержательного описания к формализованной схеме необходимо:

1) исключить сведения, не существенные с точки зрения цели исследования системы;

2) установить такой критерий интерпретации результатов моде­лирования, который отражает интересы «потребителя», использующего моделируе­мую систему, достаточно полно характеризует исследуемую систему, дает возможность выбора рационального варианта построения системы, т.е. чувствителен к изменению определяющих парамет­ров, обозрим и удобен для вычислений;

3) оценить степень пригодности собранных экспериментальных данных;

4) определить необходимость детализации фрагментов концеп­туальной модели с целью выбора уровня их представления, позво­ляющего описать связи между ними математическими соотноше­ниями или алгоритмами.

Следует еще раз проверить и учесть ресурсы, доступные для мо­делирования, а также фактор времени, чтобы результаты модели­рования можно было своевременно использовать при принятии решений.

Математическая модель представляет собой систему соотно­шений, связывающих характеристики процесса функционирования объекта с его параметрами и начальными условиями. Для преобра­зования формализованной схемы в математическую модель необ­ходимо использовать известные математические схемы (дифферен­циальные уравнения, агрегаты, системы массового обслуживания, графы, сети Петри и т.д.), записать в аналитической, форме, соот­ветствующей выбранной математической схеме, все соотношения, представить аппроксимирующими функциями и интерполяцион­ными полиномами численные данные. Например, вместо таблиц частот для значений случайных величин используются аналитиче­ские выражения функций плотности типичных законов распреде­ления, которые с достаточной точностью представляются этими частотами.