Разложение вектора по координатным ортам

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора  по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор  является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора  на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора  численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

,

где ,  и есть скалярное произведение вектора  с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где a, b и g - углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

 

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

 

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не ну­­левой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е. .

 

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех

Векторов.

ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ

Линейно независимые векторы ,  и образуют правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов

Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой системой координат.

Углом между векторами и называют такой угол a, не превосходящий p, на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом .Угол между векторами обозначается (, ) или ( ^Ù ).