Вывод зависимости между положением и размером предмета и изображения

 

Рисунок 7 – Схема для вывода основных соотношений параксиальной оптики

Для вывода зависимости между положением и размером предмета и изображения воспользуемся рис.7.  подобен , следовательно:

 

, отсюда .

 

Тогда, в соответствии с выражением (1), линейное увеличение можно выразить следующим образом:

 

.                                                                                             (8)

 

Аналогично, из подобия треугольников  и  можно получить выражение:

 .                                                                                       (9)

 

Таким образом, увеличение можно выразить как через передние, так и через и задние отрезки. Отсюда можно получить формулу Ньютона:

 

       .                                                                              (10)

 

Если оптическая система находится в однородной среде (), то , и формула Ньютона получает вид:

 

.                                                                        (11)

 

Выразим z и z΄ через фокусные расстояния и передний (-a) и задний (a΄) отрезки:

 

.

 

Тогда выражение (11) можно записать в виде:

 

.

 

После преобразований получим выражение, связывающее фокусные расстояния и передний и задний отрезки (формула отрезков или формула Гаусса):

 

 .                                                                                            (12)

 

Угловое увеличение и узловые точки

 

Теперь рассмотрим угловое увеличение, опять воспользовавшись рис.7. Из , видно, что:

 

, отсюда .

 

Аналогично можно вывести выражение:

 

 .

 

Теперь можно выразить угловое увеличение через передний и задний отрезки:

 

                                                       (13)

 

Выразим z΄ из формулы Ньютона (5.14), тогда после преобразований получим выражение для вычисления углового увеличения:

 

                                                                                           (14)

 

Из выражения (14) следует, что если выбрать плоскости предмета и изображения таким образом, что  и , то в точках пересечения этих плоскостей с осью угловое увеличение равно единице. Такие точки называются узловыми точками.

Чтобы найти узловые точки N и N΄, от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние (рис.8). Отрезки NN΄ и HH΄ равны. Если  (), то узловые точки совпадают с главными.

 

 

Рисунок 8 – Узловые точки

Следствием выражений (5.13) и (5.18) является следующее соотношение:

                                                                                                     (15)