Примеры решений задач

Статистические характеристики сигналов в дискретных системах

 

Для дискретных систем можно использовать методы статистической динамики, разработанные для непрерывных систем с учетом некоторых особенностей.

Основной временной характеристикой непрерывной системы при случайных воздействиях является корреляционная функция

 

 (4)

 

Для дискретных систем она представляет решетчатую функцию

 

 (5)

 

Среднее квадратичное отклонение или дисперсия

 (8.6)

 

Преобразования Фурье для непрерывных и дискретных систем

 

 (7)

 

Примеры решений задач

 

Пример 1. Для заданной спектральной плотности непрерывного сигнала определить дискретную спектральную плотность

 

. Определить .

 

Решение:

1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию

 

 

2. Определим дискретную корреляционную функцию

 

3. Определим дискретную спектральную плотность

 

 

4. Определим дискретную спектральную плотность в форме z - преобразования, выполнив подстановку z = e^pT.

 

 

Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию

 

 

Спектральная плотность равна

 

Так как корреляционная функция является четной то

 

 

Пример 2. Определить дискретную спектральную плотность  и корреляционную функцию  выходного сигнала для заданной системы (рис.3), если спектральная плотность входного сигнала имеет вид

 

       x                                                               y

 

       Rxx(t)                                                      Ryy[nT]

       Sxx(w)                                                      S*yy(w)

                               

                                           

Рис. 3

 

Решение:

Для заданной

 

 

передаточная функция дискретной системы равна

 

 

Определим дискретную спектральную плотность и корреляционную функцию выхода

 

 

Аналогично определим дискретную корреляционную функцию выхода для левой ветви

 

 

Так как корреляционная функция является четной, то

 

 

Пример 3. Определить дискретную спектральную плотность  и корреляционную функцию  выходного сигнала для заданной системы (рис.4), если корреляционная функция входного сигнала имеет вид

 

                        x                                                               y

                      Rxx(t)                                                      Ryy[nT]

                      Sxx(w)                                                      S*yy(w)

Рис. 4

 

Решение: Определим дискретную передаточную функцию

 

 

Для заданной корреляционной функции входного сигнала дискретная спектральная плотность равна:

 

 

Определим дискретную спектральную плотность и корреляционную функцию выхода

 

Так как корреляционная функция является четной то

 

 

Пример 4. Определить дискретную спектральную плотность  для заданной системы (рис.5), если корреляционная функция входного сигнала имеет вид

 

                   x        u                                                   y

                          _

                 Rxx(t)                                                          Ryy[nT]

                 Sxx(w)                                                          S*yy(w)

Рис.5

 

Решение: Спектральная плотность равна

 

Пример 5. Для заданной системы (Рис.6) определить , если  а алгоритм функционирования цифровой части описывается уравнением:

 

 

    x                                                                                  y

 

       -

Рис.6

 

Решение: В соответствии с алгоритмом функционирования цифровой части запишем его передаточную функцию

 

 

Исходную сему можно представить в виде (рис.7)

Рис.7

 

Определим передаточную функцию разомкнутой системы

 

 

 

Определим передаточную функцию замкнутой системы

 

 

Спектральной плотности непрерывного сигнала

 

 

 

соответствует дискретная спектральная плотность (см. пример 1)

 

Спектральная плотность выходного сигнала равна: