Прохождение случайного сигнала через нелинейную систему

 

В статистической динамике линейных систем используются методы усреднения по времени (корреляционные функции и спектральные плотности), в статистической динамике нелинейных систем используют методы усреднения по множеству (законы распределения).

Рассмотрим нелинейное безинерционное звено с заданной характеристикой z = j (x), на вход которого подается случайный сигнал x (t) с заданным законом распределения f (x) ( рис.8)

 

 

Определить закон распределения f (z).

Допустим, характеристика нелинейного элемента является монотонной, а плотность вероятности с нормальным распределением (рис.9а, б).

 а)                                                                  б)

Рис.9

 

Каждому значению x соответствует определенное значение z. Рассмотрим некоторую область] x₁, x₁+ dx [

 

P (x₁ < X < x₁+ dx) = f (x) dx;

P (z₁ < Z < z₁+ dz) = f (z) dz.

Из условия равенства вероятностей принадлежности сигнала на входе области x₁ < X < x₁+ dx и сигнала на выходе области z₁ < Z < z₁+ dz можно определить f (z)

f (x) dx = f (z) dz; f (z) =f (x) dx/dz.

Рис.10

Пример 9.1. На вход нелинейного звена с заданной характеристикой поступает случайный сигнал с симметричным нормальным распределением (рис.10). Определить плотность распределения сигнала на выходе звена. Нормальное центрированное (симметричное) распределение имеет вид

 

 

Плотность распределения сигнала на выходе звена можно определить из соотношения

 

 

При изменении входной величины - ¥ < x < ¥, выходная величина изменяется в пределах 0 < z < ¥, т.е. каждому значению x соответствует два значения z, поэтому можно записать

 

 

Если , то при этом можно записать выражение для плотности распределения на выходе нелинейного звена

Литература

 

1. Вероятностные методы в вычислительной технике. Под ред.А.Н. Лебедева и Е.А. Чернявского - М.: Высш. Шк., 1986. - 312 с.

2. Гальперин М.В. Автоматическое управление Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2004с. - 224с.

3. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред.А. А. Красовского - М.: Наука, 1987. - 712 с.

4. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. Ч1/Под ред.А. А. Воронова - М.: Высш. Шк., 1986. - 367 с.