2020-01-15
124
Универсальным методом получения статистических оценок параметров с учетом специфической и априорной информации является метод Байеса, представляющий процедуру уточнения априорных плотностей распределения искомых параметров – в данном случае частот ИС на основании результатов, полученных при обработке специфических данных.
В соответствии с этим подходом различают априорное f0(n) и апостериорное f1(n/r) распределения случайного параметра n. Последнее является условным и зависит от числа r зарегистрированных событий. Плотность распределения f1(n/r) выражается через f0(n) и функцию правдоподобия L = P{r/n} при помощи формулы Байеса:
(Д.1)
Конкретная реализация байесовской процедуры уточнения оценок, применяемая в данной работе, имеет следующие особенности:
1) Предполагается, что периоды времени между наступлением одинаковых ИС распределены экспоненциально, при этом частота ИС представляет собой соответствующий параметр экспоненциального закона. В рассматриваемой задаче при этом функция правдоподобия имеет вид:
|
|
|
(Д.2)
Минимальная достаточная статистика для рассматриваемой схемы r - наблюдаемое число событий должно относиться непосредственно к референтному ОМН.
2) Формирование априорной плотности распределения для оценки частот ИС производится двумя различными способами в зависимости от степени представительности информации, содержащейся в дополнительных источниках данных. Для определения степени представительности данных используется правило «трех отказов», смысл которого поясняется ниже.
3) При общем количестве событий r в дополнительных источниках данных менее трех, установить степень однородности данных, полученных с различных ОМН, как правило, невозможно, поэтому априорное распределение для данного случая конструируется из семейства гамма-распределений по формуле:
, (Д.3)
где r представляет собой суммарное количество событий по трем ОМН, являющимся дополнительными источниками информации.
Полученную формулу можно интерпретировать как результат применения байесовской процедуры уточнения оценок к неинформативному несобственному распределению f(n) = n - 0,5 в предположении, что данные дополнительно привлекаемых источников являются однородными.
4) При общем количестве событий r в дополнительных источниках данных, равным трем или более, априорная информация является достаточно представительной для установления степени однородности данных. Не учет неоднородности может привести к искажению точечных оценок параметра и существенному занижению его характеристики неопределенности. Поэтому в этом случае для получения параметра априорного распределения частот ИС применяется специальный метод, известный как оценка параметров распределения для «суперпопуляции». Метод позволяет учитывать вариативность параметра экспоненциального закона, обусловленную межгрупповой неоднородностью данных, относящихся к различным блокам. Результат применения данного подхода представляется в виде соответствующих параметров гамма-распределения, которое в дальнейшем используется в качестве априорного в формуле (Г.1). В окончательном виде результаты применения байесовского подхода для сопряженного априорного распределения к пуассоновской функции правдоподобия (гамма-распределение) представлены выражениями, в которых соответствующие параметры априорного распределения суммируются с результатами наблюдения, полученными для референтного ОМН.
|
|
|
5) В логнормальной модели представления результатов обработки данных, традиционно используемой в ВАБ, математическое ожидание апостериорной плотности распределения принимается таким же, как и для гамма-распределения. Значение фактора ошибки для логнормальной модели представления данных может быть определено по формуле:
, (Д.4)
где значение 95 процентной верхней границы искомого параметра определяется по формуле:
, (Д.5)
где Z0.95 представляет собой 95 процентный квантиль стандартного нормального распределения.
