Абсолютна та умовна збіжність

Знакозмінні та знакопостійні ряди.

План.

1. Означення закономірного ряду.

2. Теорема Коші.

3. Абсолютна та умовна збіжність.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.

Теорема. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п, задовольняє нерівність де q – стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.

Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п, маємо то ряд розбігається.

Доведення. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п,

Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що нерівність

характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.

В другому випадку матимемо з певного моменту , отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.

Наслідок. Якщо існує , то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.

Доведення.

Взявши u тут якесь число q, проміжне між r та 1 (), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку:

Отже, ряж збігається; а в другому: отже, ряд розбігається.

Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.

Теорема. Ряди напевне збігається, якщо збігається ряд

Доведення. Для кожного можна знайти таке , при якому для і при буде:

Але тоді й поготів

Але це й доводить теорему.

Означення. Збіжний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд

Розглянемо, наприклад, ряд

(1)

Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд

(2)

є знакододатний. Порівнюючи його з рядом

(3)

маємо

Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.

Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді ознака Коші – у вигляді: і т.п.