Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца

План.

1. Означення знакочергуючого ряду.

2. Ознака Лейбніца.

3. Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.

Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:

де - додатні числа.

Теорема Лейбніца. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто до того ж ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом

Доведення. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку , причому запишемо її в двох різних виглядах:

1 .

Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, монотонно зростає при збільшенні К.

2 З другого боку

Бачимо, що < , для всіх значень k > 1. Отже, обмежена зверху.

Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі , при чому ця границя, очевидно, більша за а ₁ – а ₂ і не перевищує а₁:

а ₁ – а ₂ < < а ₁.

Отже, напевне 0 < < а ₁.

Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку ₊₁, маємо:

= + а _2к+1.

Отже,

Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:

(0 < S < a ₁),

коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.

Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – S_n = r_n менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:

, і має знак цього члена.

Доведення. Маємо:

Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому

причому

Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член – парний, то , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.