Диференціювання та інтегрування

Степеневих рядів.

 

План.

1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.

 

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.

 

Диференціювання степеневих рядів.

Теорема. Якщо степеневий ряд

                (1)

має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд

,                    (2)

утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція .

Доведення. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні , то на кожному сегменті , де , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.

Для цього, досить виявити збіжність ряду

          (3)

що відіграватиме роль мажоруючого ряду.

Позначаючи , де , і беручи до уваги, що , маємо

,

де . Застосуємо до ряду

                   (4)

 ознаку Даламбера:

.

Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що р р’.

Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.

Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд

,

а оскільки , то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,

З нерівностей і  випливає що . Беручи до уваги теорему про диференціювання функціональних рядів, приходимо до висновку, що сума ряду (1) в усіх точках в середині спільного інтервалу збіжності рядів (1) і (2), тобто .

Теорему доведено.

Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f^(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.

Інтегрування степеневих рядів.

Теорема. Степеневий ряд

          (5)

з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):

      (6)

і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.

Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.