Побудова кривої нормального розподілу

деталь машина обробка точність

1. Береться поточна вибірка із партії заготовок, оброблених підряд одна за одною за одних і тих же умов обробки на одному й тому ж верстаті. Для отримання достовірних результатів обсяг вибірки повинен бути в межах 1000 ³ n ³ 50.

Вимірюють всі заготовки за потрібним параметром інструментом зі шкалою з мінімальною ціною поділки. Ціну поділки вимірювального інструменту вибирають з умови:

 

 

де Т – допуск вимірюваного параметра.

За результатами вимірювань визначається різниця між найбільшим і найменшим розмірами, тобто:

 

w_p = x_max – x_min.

 

3. Отримані значення параметра заготовок вибірки розбивають на f інтервалів. Ширина d інтервалу повинна не менше ніж у два рази перевищувати ціну поділки вимірювального інструменту (приладу): d ³ 2с; d = Δ_p/f.

Число інтервалів визначається за таблицею:

 

n	20–40	40–60	60–100	100	100–160	160–250
f	6	7	8	10	11	12

 

або за формулою:

 

f = 1 + 3,322 lg n.

 

4. Для кожного інтервалу розраховують частоту m_i та частість m_i/n і заносять їх у табл.

 

Таблиця 2 Розподіл розмірів заготовок

Інтервал, мм	Частота	Частість
20,00–20,05 20,05–20,10 20,10–20,15 20,15–20,20 20,20–20,25 20,25–20,30 20,30–20,35	2 11 19 28 22 15 3	0,02 0,11 0,19 0,28 0,22 0,15 0,03
Всього	n = ∑m = 100	∑m/n = 1

 

5. За даними табл. 2 будується графік (рис. 8). По осі абсцис відкладають інтервали розмірів у відповідністю з табл., а по осі ординат – відповідні їм частоти m_i або частості m_i/n.

 

Рис. 8. Розподіл виміряних розмірів заготовок

 

В результаті побудови отримується ступінчаста лінія І, яка називається гістограмою розподілу. Якщо послідовно з’єднати між собою точки, що відповідають середині кожного інтервалу, то створюється ламана крива, яка називається емпіричною кривою розподілу, або полігоном розподілу. При значній кількості виміряних заготовок і великій кількості інтервалів розмірів ламана емпірична крива наближається за формою до плавної кривої, яка називається кривою розподілу.

За формою емпіричної кривої приймають гіпотезу про теоретичний закон розподілу досліджуваного параметра.

6. За прийнятою гіпотезою визначають основні параметри емпіричного розподілу.

7. На основі емпіричного розподілу та його параметрів порівнюють емпіричний розподіл з теоретичним, тобто визначають теоретичні частоти і будують теоретичну криву.

Приблизно можна вважати, що:

 

,(7)

 

де  – теоретична частота;

d – ширина (ціна) інтервалу;

n – число вимірювань (число деталей у вибірці).

З рівняння (7) маємо:

 

.(8)

 

Якщо у вираз (8) підставити нормований параметр розподілу , то отримаємо:

 

.

 

Позначимо  і враховуючи, що s = S, формула (8) набуде вигляду:

 

.(9)

 

Величина Z_t обчислена для різних значень t і наведена в [7, додаток 1].

Значення t для кожного інтервалу розмірів знаходять за формулою:

 

,(10)

 

де x_i – середина і-го інтервалу.

Таким чином, для підрахунку теоретичних частот необхідно для кожного інтервалу розмірів за формулою (10) визначити значення t [7, додаток 1],визначити Z_t і потім скористатись формулою (9).

Необхідно відмітити, що теоретична крива нормального розподілу може бути побудована за характерними точками. Координати характерних точок кривої нормального розподілу наведені в табл. 3.

 

Таблиця 3 Характерні точки кривої нормального розподілу

Характерна точка	Абсциса	Ордината
Вершина кривої	Х
Точка перегину	X±S
Характерна точка	Х±2S
Характерна точка	X±3S

 

Далі потрібно перевірити відповідність емпіричного розподілу теоретичному нормальному.

8. Перевірка відповідності емпіричного розподілу теоретичному нормальному.

Для перевірки відповідності емпіричного розподілу теоретичному існує ряд критеріїв, з яких найбільше практичне застосування мають критерій λ А.Н. Колмогорова і критерій χ² Пірсона.

Розглянемо розподіл за критерієм χ

 

,(11)

 

де f – число розрядів (інтервалів);

m_i,  – відповідно емпірична і теоретична частоти і-го інтервалу значень X.

Для зручності обчислення χ² доцільно використовувати табл. 4.

 

Таблиця 4 Дані для розрахунку χ²

Інтервали розмірів
від	до
1	2	3	4	5	6	7

 

При визначенні критерію необхідно, щоб частота була не менше 5. Якщо в будь-якому інтервалі частота буде менше п’яти, то необхідно цей інтервал об’єднати з сусіднім.

Потім необхідно знайти число К за формулою:

 

К = m – p – 1,

 

де р – число параметрів теоретичного розподілу (для нормального розподілу р = 2):

 

К = m – 2 – 1 = m – 3.

За таблицею [7, додатку Б], за знайденими значеннями χ² і К визначається ймовірність p(χ²). Якщо буде виконуватись нерівність p(χ²) > 0,05, то можна вважати, що емпіричний розподіл відповідає теоретичному (нормальному) і можна використовувати його закономірності для аналізу точності обробки.