Метод простой итерации и его модификации

МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С МАТЕРИАЛЬНЫМИ И ТЕПЛОВЫМИ РЕЦИКЛАМИ

 

Методические указания

 

 

Санкт- Петербург

 

2009

УДК 66.01.001

 

 

Холоднов В.А.Методы расчета   химико-технологических систем с материальными и тепловыми рециклами.: Методические указания  / В.А. Холоднов, А.В. Гайков, М.Б. Суханов, В.И.Черемисин. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2009.-29 с.

 

 

В методических указаниях рассматриваются вопросы, связанные с расчетом химико-технологических систем (ХТС) с материальными и тепловыми рециклами.    

Приведены алгоритмы решения задач, которые предполагают при расчетах использовать электронную таблицу EXCEL и систему компьютерной математики Mathcad.

Методические указания соответствуют содержанию дисциплин «Моделирование систем», «Системный анализ химических производств», «Системный анализ химических технологий» государственных образовательных стандартов.

Методические указания предназначены для бакалавров, магистров, аспирантов высших учебных заведений и могут быть использованы в системах непрерывного профессионального образования по компьютерным технологиям.

      

 

Рис.18, табл.3, библиогр. 2 назв. 

 

Рецензенты:

1. Санкт-Петербургский Балтийский государственный университет ВОЕНМЕХ (БГТУ), С.Д. Шапорев, д-р физ.-мат.наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики 2. В.К.Викторов, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой информационных систем в химической технологии СПб ГТИ (ТУ).

 

 

Утверждено на заседании учебно-методической комиссии физико-математического отделения 10.09.2009

 

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ (ТУ)

ВВЕДЕНИЕ

 

Принципы и понятия математического моделирования в последнее время получили существенное развитие. Оно связано с интенсивным применением информационных технологий и вычислительной техники. Использование мощных программных комплексов  при расчете процессов и аппаратов химической технологии дает возможность значительно сократить время от исследования процесса до его внедрения в промышленность.

В методических указаниях приводятся известные методы для расчета ХТС с материальными и тепловыми рециклами, что позволяет прогнозировать поведение сложных процессов в изменяющихся условиях функционирования систем.

Методические указания состоят из двух частей: первая часть теоретическая, вторая часть представляет собой варианты лабораторных работ.

В первой главе методических указаний рассматриваются итерационные методы для решения уравнений на местах разрыва потоков.

Во второй главе рассматривается метод простой итерации для расчета ХТС.

В третьей главе рассматривается метод Вегстейна для расчета ХТС.

В четвертой главе приводится пример декомпозиционного расчета ХТС с использованием простой итерации, электронной таблицы EXCEL и системы компьютерной математики Mathcad.

В пятой главе предлагаются варианты лабораторных работ для расчета ХТС.

Шестая глава-приложение  содержит необходимые сведения по расчету ХТС с использованием электронной таблицы EXCEL

При использовании методических указаний  целесообразно сначала обратиться к вводным материалам, которые содержатся в главах 1-4, затем перейти к главе 5 для выполнения лабораторной работы по расчету   ХТС.

Авторы приносят свою благодарность Э.В. Шепелевской за помощь в подготовке рукописи методического пособия к печати.

1 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
 

НА МЕСТАХ РАЗРЫВОВ

 

Декомпозиционный метод предполагает решение уравнений на местах разрыва потоков. При этом  могут быть использованы традиционные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Как известно, в результате структурного анализа ХТС комплекс превращается в разомкнутую систему (рисунок 1.1). На месте разрыва необходимо решать систему уравнений в неявном виде: X=Y(X)  

Рисунок 1.1 – Представление комплекса после разрыва потоков

 

Рисунок 1.2 - Представление комплекса после разрыва потоков

 

На местах разрыва потоков (рисунок 1.2) необходимо решать уравнения:

U=V(U,X)   Y=X(U,X)

    Для решения этих уравнений в современных программных продуктах используются следующие методы:

· метод простой итерации,

· метод Вегстейна,

· метод Ньютона-Рафсона и другие.

    В общем случае на местах разрыва необходимо решать следующую систему из нелинейных алгебраических уравнений с  неизвестными:

 

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ И ЕГО МОДИФИКАЦИИ

 

Для применения метода простой итерации система рассматриваемых уравнений преобразуется к следующему виду:

Задаются начальные приближения и осуществляется поиск решения по этому преобразованному уравнению. Необходимо отметить, что на сходимость процедуры поиска решения сильно влияет способ представления преобразованных уравнений и выбор начального приближения.

Пример 1.

Рассмотрим решение уравнения                              (1)

Начальное приближение , точность решения

Представим уравнение в виде:                                                         (2)

Результаты, приведенные в таблице 2.1, показывают, что процесс решения расходится.

 

Таблица 2.1 – Результаты решения уравнения (2) методом простой итерации

 

k	x	x
0	0	-1
1	-1	-2
2	-2	-9
3	-9	-730
4	-730	5,3´10

 

Представим уравнение (1) в виде:                                   (3)

Результаты, приведенные в таблице, показывают, что процесс решения сходится.

 

Таблица 2.2 - Результаты решения уравнения (3) методом простой итерации

 

k	x	x
0	0	1
1	1	1,26
2	1,26	1,32
3	1,32	1,325
4	1,325	1,326

 

На 4 шаге выполняется  условие сходимости  и итерационный процесс заканчивается.

Пример 2.                                                                          

Рассмотрим решение системы уравнений:

                                             (4)

Начальное приближение , при a = 100, b = 100.

Представим систему в виде (5)

                 (5)

В таблице 2.3 показан ход итерационного процесса поиска решения системы (4).

   Таблица 2.3-  ход итерационного процесса

k
0	1	1
1	1,08	1,97
2	1,00218	1,99541
3	1,00055	1,99973
4	1,00002	1,99997
5	1,00000	2,00000

МЕТОД ВЕГСТЕЙНА

 

В соответствии с этим методом: ,

где    

    В нижеследующей таблице приведены результаты решения системы (4) с использованием метода Вегстейна.

 

k	x1	x2	t1	t2
0	1	1	-0,493	0,027
1	1,08	1,97	-0,33	0,028
2	1,002	1,995	-0,248	0,028
3	1,041	1,996	-0,199	0,029
4	1,028	1,996
5	1,031	1,996
6	1,03	1,996