Коррекция гетероскедастичности: логарифмирование, взвешенная регрессия, общий случай

 

Часто наличие гетероскедастичности в остатках регрессии свидетельствует о неправельной спецификации модели.

Рассмотрим две модели – линейную

 

yi = ß0 + ß1xi + εi

 

и логарифмическую

 

yi = eßoxiß1eεi

 

В линейной модели случайный член присудствует в аддитивной форме, а в логарифмической модели – в мультипликативной.

Мультипликативная форма отражает более сильное влияние случайного члена для больших значений регрессоров и более слабое – для маленьких.

Следовательно, если в линейной модели наблюдается такой вид гетероскедастичности, то вполне возможно, что в логарифмической модели гетероскедастичности не будет.

 

Логарифмическая регрессия не всегда позволяет избавится от гетероскедастичности. Кроме того, логарифмическая модель не всегдя удовлетворяет целям исследования (требуется оценить зависимость в абсолютных величнах, а не эластичность)

В этих случаях используют другой подход – взвешенную регрессию.

Рассмотрим модель

 

yi = ß0 + ß1xi + εi

 

Пусть в моделе пресудствует гетероскедастичность

 

D(εi) = σi2

 

И нам известно точное значения дисперсий ошибок модели σi2

(далее идут формулы и решения, не думаю что их придется расписывать, поэтому не буду забивать ваши светлые головы всякими решениями)

После всех вычеслений...таким образом случайный член модели имеет постоянную дисперсию (по расчетам она равна 1), следовательно обычные МНК-оценки неизвестных коэфицентов будут несмещенными и эффективными.

На практике дисперсии ошибок почти никогда не бывает. Однако иногда можно предположить, что σi2 пропорциональны некоторой переменной zi.

 

 

Тогда в качестве весов наблюдений следует использовать величину 1/zi:

 

 

Дисперсия случайного члена такой модели также постоянна

 

 

Достаточно часто в качестве переменной, взаимосвязанной с дисперсией случайного члена можно использовать регрессор:

 

σi = λxi

 

в этом случае взвешенная модель имеет вид:

 

 

Коэфицент ß1 в преобразованной модели соответствует свободному члену.

Общий случай

Подобрать простое преобразование для того, чтобы добиться гомоскедастичности удается не всегда.

В общем случае используют следующую процедуру

1. Расчитываются МНК-оценки коэффицентов регресии

2. Находят остатки еi и их квадраты

3. Находят логарифмы отстатков

4. Расчитывают регрессию

5. Плучают прогноз

6. Находят веса наблюдений wi

7. Полученные веса wi используют во взвешенном методе наименьших квадратов