Раздел 1. Предварительные сведения из функционального анализа

1.1 Топологические пространства. Определения топологии и топологического пространства. Сходимость и понятие предела в топологических пространствах. Непрерывные отображения. Аналоги топологических понятий в конечномерных пространствах: открытое множество, окрестность, сходимость, непрерывность. Необходимое и достаточное условие непрерывности (формулировка теоремы).

1.2 Линейные пространства. Определение линейного пространства. Линейные операторы. Ядро оператора. Необходимые и достаточные условия взаимнооднозначности линейного оператора. Линейные топологические пространства. Общее определение. Основные особенности понятия линейного топологического пространства. Локальная выпуклость.

1.3 Нормированные пространства. Понятие нормы в линейном пространстве. Сходимость и предел последовательности в нормированном пространстве. Понятие полноты нормированного пространства и его теоретическое значение.

1.4 Банахово пространство (определение). Примеры банаховых пространств: пространства функций

1.5 Понятие скалярного произведения в линейном пространстве. Норма, порождаемая скалярным произведением. Гильбертовы пространства.

1.6 Взаимосвязи основных структур в различных видах функциональных пространств (структурная схема). Структуры, обеспечивающие возможности введения понятия дифференцируемости (слабой, сильной, классической).

1.7 Линейные непрерывные функционалы в линейных топологических пространствах. Линейные операции и норма в пространстве линейных непрерывных функционалов. Сопряженные пространства. Сильная топология в пространствах, сопряженных к нормированным.

1.8 Пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству. Общий вид линейного непрерывного функционала в конечномерном линейном пространстве. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству. Теорема Ф. Рисса о структуре линейного непрерывного функционального в гильбертовом пространстве (без доказательства).

1.9 Сопряженные операторы. Определение сопряженного оператора. Линейный непрерывный оператор в конечномерных пространствах  Λ: → , форма его задания. Оператор, сопряженный к заданному оператору Λ, и форма его задания (доказательство).