Раздел 2. Марковские процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний

Вопросы к экзамену

По курсу «Процессы массового обслуживания и стохастические модели в экономике»

Уч. год

Летняя экзаменационная сессия

Лектор- Доцент Шнурков П.В.

 

Раздел 1. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.

1. Определения марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Классический вариант определения. Системы событий, порожденные траекториями. Вариант марковского свойства, основанный на условной независимости систем событий, связанных с траекториями процесса.

 

2. Вероятности перехода марковского процесса и их свойства. Уравнение Колмогорова - Чепмена. Вероятностное содержание свойств вероятностей перехода.

 

3. Представление совместного распределения значений марковского процесса в различные моменты времени. P(ξ(t₁)=i₁,…, ξ(t_n)=i_n | ξ(t₀)=i₀), 0< t₀ < t₁ <…< t_n через переходные вероятности. Конечномерные распределения марковского процесса. P(ξ(t₁)ϵ B₁,…, ξ(t_n)ϵ B_n | ξ(t₀)= i₀).

 

4. Однородные марковские процессы. Инфинитезимальные характеристики процесса (интенсивности перехода и выхода). Теоремы существования инфинитезимальных характеристик. Связь интенсивностей перехода и выхода. Свойство регулярности марковского процесса.

 

5. Условие “непрерывности в нуле” для вероятности перехода однородного марковского процесса. Формальный смысл условия непрерывности в нуле и его общее вероятностное содержание.

 

6. Устойчивые, мгновенные и поглощающие состояния марковского процесса. Особенности поведения процессов, обладающих соответствующими состояниями. Свойство регулярности в широком смысле.

 

7. Дифференциальные уравнения Колмогорова относительно переходных вероятностей (прямая и обратная системы). Вывод уравнений Колмогорова для процесса с конечным множеством состояний.

 

8. Теорема о достаточных условиях выполнения обратной системы дифференциальных уравнений Колмогорова для процесса со счетным множеством состояний (без доказательства).

 

9. Теорема о достаточных условиях выполнения прямой системы дифференциальных уравнений Колмогорова для процесса со счетным множеством состояний (без доказательства).

 

10. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Алгебраические уравнения для предельного (стационарного) распределения.

 

11. Распределение времени пребывания марковского процесса в фиксированном состоянии kϵX (Х-множество состояний). Свойство отсутствия последействия для экспоненциального распределения, его формальное выражение и вероятностное содержание. Связь марковского свойства случайного процесса в произвольный фиксированный момент времени и свойства отсутствия последействия для экспоненциального распределения.

 

12. Вероятности мгновенных переходов (скачков) марковского процесса и их связь с вероятностями переходов вложенной цепи маркова.

 

13. Конструктивное определение марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Стохастическое моделирование траекторий марковского процесса.

 

14. Процесс гибели и размножения (ПГР). Определение и основные свойства ПГР как однородного марковского процесса. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

 

15. Предельное (стационарное) распределение вероятностей состояний ПГР. Уравнения относительно предельного распределения. Вывод формул для стационарных вероятностей ПГР. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предельного (стационарного) распределения.

 

16. Пуассоновский процесс. Определение пуассоновского процесса как однородного марковского процесса с заданными свойствами вероятностей перехода. Вероятностные характеристики пуассоновского процесса. Свойства траекторий пуассоновского процесса.

 

17. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса. Решение системы уравнений и вывод формул для вероятностей состояний в произвольный момент времени.

 

18. Уравнения Колмогорова для переходных вероятностей пуассоновского процесса. Решение системы уравнений и вывод формул для вероятностей перехода за время t, t >0.

 

19. Определение пуассоновского процесса как случайного процесса с независимыми приращениями. Задание конечномерных распределений пуассоновского процесса. Теорема о свойствах траекторий пуассоновского процесса (без доказательства). Комментарий к формулировке теоремы.

Раздел 2. Марковские процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний.

 

20. Общее понятие марковского случайного процесса с непрерывным временем и произвольным множеством состояний. Системы событий, связанных со значениями процесса (σ-алгебры, порожденные траекториями). Определение марковского процесса, основанное на условной независимости систем событий, связанных с траекториями. Переходные вероятности марковского процесса, их особенности.

 

21. Переходные вероятности марковского процесса с произвольным (непрерывным) множеством состояний , их теоретическое значение и отличия от переходных вероятностей других видов марковских процессов. Свойства вероятностей перехода. Уравнение Колмогорова – Чепмена. Общий характер свойств вероятностей перехода для всех видов марковских процессов.

 

22. Теорема существования марковского процесса с непрерывным временем и множеством состояний X=R (без доказательства). Комментарии к формулировке теоремы.

 

23. Плотность вероятностей перехода марковского процесса, связь с переходной вероятностью. Свойства плотности вероятностей перехода. Уравнение Маркова ­– Смолуховского. Совместная плотность распределения значений марковского процесса ξ(t) в различные моменты времени и ее представление через плотности вероятностей перехода. Совместное распределение значений процесса (конечномерное распределение) и его общее выражение через совместную плотность.

 

24. Однородные марковские процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний и их вероятностные характеристики. Основные соотношения для вероятностных характеристик однородных марковских процессов (вероятностей перехода и плотностей вероятности перехода, конечномерных распределений и плотностей совместных конечномерных распределений).

 

25. Диффузионный процесс. Основное (классическое) определение. Коэффициенты сноса и диффузии. Идея диффузионной стохастической модели: представление приращения процесса за малое время Δ в виде двух составляющих или два основных фактора, характеризующих поведение процесса.

 

26. Второе определение диффузионного процесса (разложение моментов приращения процесса). Свойства траекторий процесса.

 

27. Обратное дифференциальное уравнение Колмогорова для диффузионных процессов. Различные формы обратного уравнения Колмогорова: уравнение для вероятностей перехода и уравнение для плотности вероятностей перехода. Теорема о достаточных условиях выполнения обратного уравнения.

 

28. Прямое дифференциальное уравнение Колмогорова (уравнение Фоккера – Планка). Теорема о достаточных условиях справедливости прямого уравнения. Уравнение для предельного (стационарного) распределения диффузионного процесса.

 

29. Краткая история создания теории диффузионных процессов. Применение стохастических диффузионных моделей в физике и экономике.

 

30. Процессы с независимыми приращениями. Однородность приращений. Пуассоновский  и винеровский процессы как процессы с независимыми приращениями. Сравнительная характеристика процессов.

 

31. Винеровский процесс (броуновское движение). Различные определения винеровского процесса (винеровский процесс как процесс с независимыми приращениями и винровский процесс как диффузионный процесс). Стандартный винеровский процесс w(t). Связь общего и стандартного винеровских процессов.

 

32. Вероятностные характеристики винеровского процесса. Плотность вероятностей перехода и переходная вероятность; распределение вероятностей состояний; совместная плотность распределения значений винеровского процесса в различные моменты времени и задание конечномерных распределений винеровского процесса.

 

33. Теорема о непрерывности траекторий винеровского процесса (теорема существования непрерывной модификации). Доказательство: проверка условий теоремы Колмогорова о существовании непрерывной модификации случайного процесса (доказательство можно не приводить).

 

34. Теорема о недифференцируемости траекторий винеровского процесса (теорема существования модификации с соответствующими свойствами траекторий) (без доказательства). Два различных понятия нидифференцируемости случайного процесса и соотношение между ними.

 

35. Общая схема построения формальной теории случайного процесса. Построение теории пуассоновского и винеровского процессов на основе общей схемы (формулировка основных утверждений и их связей).

 

36. Краткая история создания теории броуновского движения (винеровского процесса). Применение модели броуновского движения в физике и экономике (общие замечания).