Обобщённо булевы решётки, булевы решётки

Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.

Решётка L называется обобщённой булевой, если для любых элементов и d из L, таких что существует относительное дополнение на интервале , т.е. такой элемент из L, что и .

(Для , , интервал | ; для , можно так же определить полуоткрытый интервал | ).

ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.

Доказательство. Пусть для элемента существует два относительных дополнения и на интервале . Покажем, что . Так как относительное дополнение элемента на промежутке , то и , так же относительное дополнение элемента на промежутке , то и .

Отсюда

таким образом , т.е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.

Решётка L называется булевой, если для любого элемента из L существует дополнение, т.е. такой элемент из L, что и

ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.

ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).

Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что . Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент , где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно, , кроме того . Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

Идеалы

Подрешётка I решётки L называется идеалом, если для любых элементов и элемент лежит в I. Идеал I называется собственным, если . Собственный идеал решётки L называется простым, если из того, что и следует или .

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через (H]. Если , то вместо будем писать и называть главным идеалом.

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L, тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если , то , и если , то .

Доказательство. Пусть I – идеал, тогда влечёт за собой , так как I – подрешётка. Если , то и условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и . Тогда и так как , то , следовательно, I – подрешётка. Наконец, если и , то , значит, и I является идеалом.

Глава 2

Конгруэнции

Отношение эквивалентности (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение) на решётке L называется конгруэнцией на L, если и совместно влекут за собой и (свойство стабильности). Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

(ω) ; (ι) для всех .

Для обозначим через смежный класс, содержащий элемент , т.е. ‌|

Пусть L – произвольная решётка и . Наименьшую конгруэнцию, такую, что для всех , обозначим через и назовём конгруэнцией, порождённой множеством .

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция существует для любого .

Доказательство. Действительно, пусть Ф = | для всех . Так как пересечение в решётке совпадает с теоретико-множественным пересечением, то для всех . Следовательно, Ф = .

В двух случаях мы будем использовать специальные обозначения: если или и - идеал, то вместо мы пишем или соответственно. Конгруэнция вида называется главной; её значение объясняется следующей леммой:

ЛЕММА 2.2. = | .

Доказательство. Пусть , тогда , отсюда . С другой стороны рассмотрим , но тогда . Поэтому и .

Заметим, что - наименьшая конгруэнция, относительно которой , тогда как - наименьшая конгруэнция, такая, что содержится в одном смежном классе. Для произвольных решёток о конгруэнции почти ничего не известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание конгруэнции :

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - дистрибутивная решётка, и . Тогда и .

Доказательство. Обозначим через Ф бинарное отношение, определённое следующим образом: и .

Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:

1) Ф – отношение рефлексивности: x·a = x·a; x+b = x+b;

2) Ф – отношение симметричности:

x·a = y·a и x+b = y+b y·a = x·a и y+b = x+b ;

3) Ф – отношение транзитивности.

Пусть x ·a = y·a и x+b = y+b и пусть y·с = z·с и y+d = z+d. Умножим обе части x·a = y·a на элемент с, получим x·a·c = y·a·c. А обе части y·с = z·с умножим на элемент a, получим y·c·a = z·c·a. В силу симметричности x·a·c = y·a·c = z·a·c. Аналогично получаем x+b+d = y+b+d = z+b+d. Таким образом .

Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.

Покажем, что Ф сохраняет операции. Если и z L, то (x+z) ·a = (x·a) + (z·a) = (y·a) + (z·a) = (y+z) ·a и (x+z)+b = z+(x+b) = z+(y+b); следовательно, . Аналогично доказывается, что и, таким образом, Ф – конгруэнция.

Наконец, пусть - произвольная конгруэнция, такая, что , и пусть . Тогда x·a = y·a, x+b = y+b, и . Поэтому вычисляя по модулю , получим

, т.е. , и таким образом, .

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ 2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной решётки L. Тогда в том и только том случае, когда для некоторого . В частности, идеал I является смежным классом по модулю .

Доказательство. Если , то и элементы x·y·i, i принадлежат идеалу I.

Действительно .

Покажем, что .

Воспользуемся тем, что (*), заметим, что и , поэтому мы можем прибавить к тождеству (*) или , и тождество при этом будет выполняться.

Прибавим : , получим .

Отсюда . Таким образом, .

Обратно согласно лемме 2, ‌‌‌‌‍|

Однако и поэтому ‌‌‌‌‍|

Если , то откуда

Действительно, (**).

Рассмотрим правую часть этого тождества:

Объединим первое и второе слагаемые –

Объединим первое и третье слагаемые –

таким образом (***)

Заметим, что , поэтому прибавим к обеим частям выражения (***) y:

Но , отсюда .

Следовательно, условие следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента . Наконец, если и , то , откуда и , т.е. является смежным классом.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение является взаимно однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L. (Под понимаем класс нуля по конгруэнции , под понимаем решётку конгруэнций.)

Доказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что оно взаимно однозначно, т.е. что смежный класс определяет конгруэнцию . Это утверждение, однако, очевидно. Действительно тогда и только тогда, когда (*), последнее сравнение в свою очередь равносильно сравнению , где с – относительное дополнение элемента в интервале .

Действительно, помножим выражение (*) на с:

, но , а , отсюда .

Таким образом, в том и только том случае, когда .

Примечание. Приведённое доказательство не полностью использует условие, что L – дистрибутивная решётка с дополнениями. Фактически, мы пользовались только тем, что L имеет нуль и является решёткой с относительными дополнениями. Такая решётка называется обобщённой булевой решёткой.

ТЕОРЕМА 2.3 (Хасимото [1952]). Пусть L – произвольная решётка. Для того, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнциями решётки L, при котором идеал, соответствующий конгруэнции , являлся бы смежным классом по , необходимо и достаточно, чтобы решётка L была обобщённой булевой.

Доказательство. Достаточность следует из доказательства теоремы 2.2. Перейдём к доказательству необходимости.

Идеалом, соответствующим конгруэнции , должен быть (0]; следовательно, L имеет нуль 0.

Если L содержит диамант , то идеал (a] не может быть смежным классом, потому что из следует и . Но , значит, любой смежный класс, содержащий , содержит и , и .

Аналогично, если L содержит пентагон и смежный класс содержит идеал , то и , откуда . Следовательно, этот смежный класс должен содержать и .

Итак, решётка L не содержит подрешёток, изоморфных ни диаманту, ни пентагону. Поэтому, по теореме 1.2., она дистрибутивна.

Пусть и . Согласно следствию из теоремы 2.1., для конгруэнции идеал так же является смежным классом, следовательно, , откуда . Опять применяя следствие из теоремы 2.1. получим, для некоторого . Так как , то и . Следовательно, о полу орого ледствие 4 получим, цииодержать, соответствующим конгруэнции образом мы должны только доказать, ______________ и , т.е. элемент является относительным дополнением элемента в интервале .

Основная теорема

(1) Пусть - обобщённая булева решётка. Определим бинарные операции на B, полагая и обозначая через относительное дополнение элемента в интервале . Тогда - булево кольцо, т.е. (ассоциативное) кольцо, удовлетворяющее тождеству (а следовательно и тождествам , ).

(2) Пусть - булево кольцо. Определим бинарные операции и на , полагая, что и . Тогда - обобщённая булева решётка.

Доказательство.

(1) Покажем, что - кольцо.

Напомним определение. Кольцо - это непустое множество с заданными на нём двумя бинарными операциями , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Коммутативность сложения: выполняется ;

2. Ассоциативность сложения: выполняется ;

3. Существование нуля, т.е. , ;

4. Существование противоположного элемента, т.е. , , ;

5. Ассоциативность умножения: , ;

6. Закон дистрибутивности.

Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:

1. Относительным дополнением до элемента будет элемент , а относительным дополнением элемент . В силу того, что , а так же единственности дополнения имеем .

2. Покажем, что .

Рассмотрим все возможные группы вариантов:

1) Пусть , тогда (Далее везде под элементом x будем понимать сумму ).

Аналогично получаем в случаях , , , и . Заметим, что когда один из элементов равен нулю (например, c), то получаем тривиальные варианты (a+b=a+b).

2) Пусть , а элемент c не сравним с ними. Возможны следующие варианты:

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях , кроме того:

если c=a+b, то (a+b)+c=0=a+(b+c);

если c=0, то получаем тривиальный вариант.

Вариант, когда c равен наибольшему элементу решётки d, мы уже рассматривали.

Если c=b, то (a+b)+c=(a+b)+b=a и a+(b+c)=a+(b+b)=a.

Если c=a, то (a+b)+c=(a+b)+a=b и a+(b+c)=a+(b+a)=b.

Аналогично для случаев , , , и .

3) Под элементами нижнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют нижний трёхмерный куб.

Под элементами верхнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют верхний трёхмерный куб.

Под фразой «элемент верхнего уровня, полученный из элемента нижнего уровня сдвигом по соответствующему ребру» будем понимать элемент верхнего уровня.

Пусть a, b, c несравнимы. Рассмотрим следующие варианты: и .

Пусть . Заметим, что это возможно только в случаях, когда принадлежат нижнему уровню, причём лежат на позициях элементов (рис. 1). Либо a, b остаются на своих позициях, элемент c сдвигается на верхний уровень по соответствующему ребру (рис. 2). Либо элемент a остаётся на своей позиции, элементы b, c сдвигаются на верхний уровень по соответствующему ребру (рис 3).

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях .

Пусть , здесь так же .

Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.

3. Рассмотрим в решётке элемент , к нему существует относительное дополнение до элемента , т.е. и . Учитывая, что в решётке и , имеем следующее: и . Отсюда .

4. Рассмотрим относительное дополнение элемента до , это элемент . Таким образом: и . Учитывая, что в решётке выполняются тождества и имеем следующее: и . Отсюда .

5. Так как в решётке выполняется ассоциативность , а так же имея , то .

6. Докажем дистрибутивность или что то же самое

(*).

Докажем, что дополнения левой и правой частей выражения (*) до верхней грани совпадают.

Нетрудно заметить, что дополнением правой части выражения (*) до элемента будет являться элемент .

Покажем это:

, по определению относительного дополнения элемента (), где за приняли элемент , а элемент за .

Покажем, что и для левой части (*) элемент будет являться относительным дополнением до верхней грани :

, т.к. .

Мы показали, что дополнения элементов и до верхней грани совпадают, следовательно, в силу единственности дополнения . А значит и , т.е. дистрибутивность доказана.

Таким образом, для все аксиомы кольца выполняются.

Заметим, что выполняется в силу того, что , а в решётке .

Также выполняется , потому что .

Таким образом, - булево кольцо.

Доказательство (2). Частичную упорядоченность имеем исходя из того, что исходное булево кольцо - частично упорядоченное множество. Кроме того - решётка, т.к. существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами: и .

Покажем, что решётка дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество (*)

Рассмотрим левую часть выражения (*):

Рассмотрим правую часть выражения (*):

т.о. тождество верно, т.е. решётка является дистрибутивной.

Покажем, что у каждого элемента в дистрибутивной решётке есть относительное дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы , но они так же должны являться элементами решётки , следовательно, в ней должны лежать и , которым в кольце соответствуют .