Нелинейная связь между переменными

Разумеется, связь между конкретными экономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.

Например, если мы рассматриваем зависимость от располагаемого дохода   не всех затрат на личное потребление, а лишь затрат  на некоторый продукт питания (или группу продуктов питания), например, на куриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функция связи

скорее всего, должна замедлять свой рост при возрастании , так что возможный график этой функции имеет вид

В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого, в рассмотрение вводят понятие предельной (marginal) склонности к потреблению (MPC), которая для заданной величины располагаемого дохода определяется формулой

Иначе говоря,

Замедление скорости роста функции  соответствует убыванию с возрастанием . Уточняя предположения о поведении , можно получить ту или иную форму связи между переменными  и .

Среди прочих возможных форм связи между  и   отметим степенную связь

в которой . Для такой связи

так что предельная склонность к потреблению монотонно убывает с ростом .

Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).

Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем соотношение

или, обозначая

Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений

которую мы уже умеем оценивать.

Заметим, что коэффициент   в последних выражениях есть не что иное как

эта величина не зависит от выбора основания логарифмов, так что

где используются натуральные логарифмы.

Вообще, если мы имеем связь между какими-то переменными экономическими факторами и   в виде

то мы определяем функцию

как предельную склонность Y по отношению к X.

В экономической теории существенную роль играет функция эластичности, определяемая как предел

отношения процентного изменения   к процентному изменению , когда последнее стремится к нулю. Правую часть последнего соотношения можно записать в виде

Заметим также, что

так что

Значение  равно угловому коэффициенту касательной к графику функции  при , тогда как значение  равно угловому коэффициенту касательной к графику зависимости  от  при . Как следствие, условие постоянства , т. е. , означает линейную связь между уровнями факторов

а условие постоянства эластичности   означает линейную связь между логарифмами уровней

соответствующую степенной связи между уровнями

выражающей степенное возрастание (при ) или убывание (при ) уровней фактора  при возрастании уровней фактора .

Заметим, что если , то эту постоянную можно трактовать как процентное изменение уровня фактора   при изменении фактора   на 1%.

Отметим также, что в модели  функция эластичности имеет вид

и при  возрастает от  до  с возрастанием значений от  до . Если , то . При   функция эластичности   убывает от   до , когда  изменяется от   до .

К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.

Так, если  — объем плановых инвестиций, а  — норма процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме

и имет графическое представление

Заменой переменной   приводим указанную связь к линейной форме  В этой модели эластичность по  отрицательна и меньше единицы по абсолютной величине:

(«объем плановых инвестиций неэластичен по отношению к норме процента»).

В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшение с возрастанием , все же не всегда удовлетворительна, поскольку эластичность в такой модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, скорее более подходящей будет модель связи с убывающей (в конечном счете) эластичностью. Такого рода связь между факторами   и   может иметь вид

(См. следующий график, построенный при a = 5, b = 10.)

Действительно,

однако, здесь возникают проблемы с отрицательными значениями   при малых значениях .

Последнего недостатка нет в модели

т. е.

(График построен при значениях a =0.1, b =1.) Здесь

(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу).

Обе последние модели сводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратным величинам.

Замечание

Если исследователь принимает модель наблюдений

то тем самым, он соглашается тем, что

или

т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок   в нелинейное уравнение для .

В то же время, не исключено, что по существу дела модель должна иметь вид

т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случае взятие логарифмов от обеих частей не приводит к линейной модели наблюдений. В такой ситуации оценки наименьших квадратов параметров  и   приходится получать итерационными методами, в процессе реализации которых производится последовательное приближение к минимуму суммы квадратов