Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений

 

В третьей части курсовой работы осуществим типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений.

Введение новых переменных может быть как явным, так и неявным. Классифицируем наши уравнения по способам неявной реализации метода замены переменной:

Использование основного свойства дроби.

Использование основного свойства дроби применяется в уравнениях следующего вида:

 

 

 

 

где постоянные, .

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли  корнем уравнения, и производят замену .

Выделение квадрата.

Выделение квадрата двучлена чаще всего встречается при решении уравнений, которые можно привести к такому виду, чтобы одна часть уравнения представляла собой сумму квадратов двучлена.

Переход к системе уравнений.

Этот приём целесообразен при решении уравнений вида

 

где коэффициенты  и  равны, противоположны по знаку или отличаются на постоянный множитель.

Раскрытие скобок парами.

Такой методдаёт хороший эффект в уравнениях вида

 

 

Где  или  или

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения.

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравненияцелесообразно применять в случаях, когда перед нами уравнение вида

 

 

где , или  или .

Сведение к однородному уравнению.

Преобразовав один из множителей и выделив из него выражение, равное второму множителю и подставляя полученное выражение в исходное уравнение, удаётся прийти к однородному уравнению второй степени, т.е. к уравнению вида

 

 

где - постоянные, отличные от нуля, а , - многочлены.

Тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.