Метод наименьших квадратов

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек х₀, х_1,…,х_m

                                                          (3)

Параметры а₀, а_1,…,а_m  эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции S= S(а₀, а_1,…,а_m ). В этом состоит метод наименьших квадратов.

В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны.

Поскольку здесь параметры а₀, а_1,…,а_m выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:

(4)

Полученные соотношения – система уравнений для определения параметров а₀, а_1,…,а_m

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен:

φ(х)= а₀+а₁х+ а₂х²+…+ а_mх^m                                                                       (5)

Формула (9) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид

                                                        (6)

Для составления уравнений (4) найдем частные производные функции S= S(а₀, а_1,…,а_m):

 

   

 

Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (4) и собирая коэффициенты при неизвестных а₀, а_1,…,а_m получаем следующую систему уравнений:

 

 

    ………………………………………….

 

 

Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты

а₀, а_1,…,а_m  многочлена (5), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.

 

БЛОК-СХЕМА решения задач