Степенная зависимость (геометрическая регрессия)

Введение

Постановка задачи и исходные данные

Имеются экспериментальные данные в виде таблицы:

x_i	6,04	6,33	4,86	5,91	4,96	5,58	6,15	6,13	4,65	5,49
y_i	79,31	57,43	60,66	92,55	90,12	71,30	70,50	91,52	54,9	58,56

Необходимо обработать опытные данные путем нахождения аппроксимирующих зависимостей. Для расчета параметров аппроксимирующей функции применять метод наименьших квадратов

Аппроксимация функций

Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y=f(x) она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(х), так чтобы отклонение φ(х) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(х) при этом называется аппроксимирующей.

Мерой отклонения φ(х) от заданной функции f(x) на множестве точек (х_i, y_i) (i=0,1,…,n) при среднеквадратическом приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:

(1)

Надо подобрать такую функцию φ(х), чтобы величина S была наименьшей. В этом и состоит метод наименьших квадратов.

Подбор эмпирических формул

Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между у и х, мы в результате серии экспериментов произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значений

Х₀	Х₁	…	Х_n
Y₀	Y₁	…	Y_n

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость

y=f(x), (2)

значения которой при х= х_i(i=0,1,…,n) мало отличается от опытных данных y_i. Приближенная функциональная зависимость (2), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки (х_i, y_i), как в случае интерполяции.

Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость

Y=ax+b

Другой простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен –парабола или кубическая парабола.

Y=ax²+bx+c

Y=ax³+bx²+cх+d

Также за эмпирическую формулу можно взять любой полином Y = P_n(x), обратную степенную функцию Y=1/Q_n(x) или логарифмическую Y = aln(bx) + c.

Ниже приведены наиболее употребимые формулы и соответствующие им графики.

Степенная зависимость (геометрическая регрессия)

Степенная зависимость имеет вид

(3)

Во всех случаях при При в точке кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при и тем быстрее она возрастает при

При в точке кривая касается оси ординат. При кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при наоборот.

Рисунок 1

График степенной зависимости

Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем равенство (3) при условии