Площадь поверхности, заданной явным уравнением

Пусть поверхность задана явным уравнением , причём изменяются в квадрируемой области на плоскости , и в этой области имеет непрерывные частные производные и . Разложим область с помощью сетки кривых на элементы . Рассмотрим .Если построить на контуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси , то она вырежет на поверхности элемент . Элемент соответствует элементу . Точка соответствует точке , где . Проведём в точке касательную плоскость. Упомянутая цилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру , площадь которой служит приближением к площади элемента . Сумму можно считать приближением к площади поверхности . Площадь при стремящихся к нулю диаметров всех элементов или . Отсюда , где - угол нормали к поверхности с осью . Если удовлетворяет точке , то для площадей плоских фигур и имеем , откуда . Получаем интегральную сумму . Исходя из того, что , площадь .

Площадь поверхности в общем случае

Рассмотрим простую гладкую поверхность , заданную параметрически. Для каждой точки поверхности явное уравнение заменяется явным же уравнением или . Отсюда следует, что вся поверхность разлагается на конечное число кусков . Вычислим площадь . . .

Замечание: Перейдём от параметров с областью изменения к параметрам с областью изменения по формулам , . Тогда поверхность выразится новыми уравнениями , , . Обозначим , , - так называемые гауссовы коэффициенты. Так как , то .

Выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.

Пример: Найти площадь частей сферической поверхности , вырезанных из неё цилиндром .

Решение. , , , тогда , причём областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью .

В полярных координатах получим . Проинтегрировав, получим .

В сферических координатах, так как , , , то .

Тройной интеграл

Масса тела. Объём

Пусть дано некоторое тело , заполненное массами, и в каждой точке известна плотность распределения этих масс. Требуется определить всю массу тела.

Разложим тело на ряд частей: . Точка . Пусть в пределах части плотность постоянна и равна в выбранной точке. Тогда масса , масса всего тела . Если диаметры всех частей стремятся к нулю, то или . Последнее выражение называется тройным интегралом.

Пусть дана функция в данном теле .

Если функция , то , где есть объём данного тела

. Вычисление тройного интеграла можно выполнить с помощью трёх последовательных простых интегрирований.

Пример:

1). Вычислить интеграл , распространённый на тетраэдр , ограничиваемый плоскостями , , и (чертёж). Решение: Запишем границы изменения каждой из переменных