Криволинейный интеграл

Выражение площади с помощью криволинейных интегралов

 

Запишем сначала формулу Грина: .

Если функции P и Q в формуле Грина подобрать так, чтобы , то двойной интеграл приведётся к площади D.

Если  и , то ,

если  и , то ,

если  и , то . Последняя формула является наиболее употребительной.

Пример: Найти площадь эллипса с полуосями a и b. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: , . Тогда .

 

Приложения к физическим задачам

Работа силового поля. Пусть в каждой точке M плоскости xy на помещённую в неё единицу массы действует определённая сила . Данная плоскость называется силовым полем, а сила  - напряжением поля. Из рисунка видно , .

Пусть точка M (x,y) движется и описывает некоторую непрерывную кривую (K). Вычислим работу A, которую при этом движении совершают силы поля. В случае прямолинейного движения , где

 

 

В случае непрямолинейного движения и непостоянной силы станем определять положение точки M на кривой (K) длиной s дуги AM. Тогда . Просуммируем, работа выразится криволинейным интегралом первого типа: . Пусть  - угол между направлением элемента и осью x, тогда . Окончательно работа силового поля выразится криволинейным интегралом второго типа: .

Плоское установившееся движение несжимаемой жидкости.

 

При таком движении все частицы, лежащие на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же скорость. Скорость  частицы жидкости зависит только от положения частицы, но не от времени.

Если обозначить угол, составленный вектором  с осью x, через , а проекции этого вектора на координатные оси – через  и , то . Количество Q жидкости, протекающей через кривую (K) в определённую от неё сторону в единицу времени, запишется в виде криволинейного интеграла первого типа .

Так как , то . Перейдём к криволинейному интегралу второго типа .

 

 

Поверхностные интегралы