Площадь поверхности вращения

Рассмотрим вопрос о вычислении площади поверхности вращения. Вычислим площадь поверхности вращения, считая её существующей и обладающей свойством аддитивности.

Пусть имеем на плоскости xy (именно в верхней полуплоскости) некоторую кривую AB, заданную уравнением вида , , , (10)

Где и - функции от параметра, непрерывные вместе со своими производными. Для простоты будем предполагать её незамкнутой и лишённой кратных точек. Нам удобно ввести в качестве параметра дугу s, отсчитываемую от точки , и перейти к представлению , , (11)

Параметр s изменяется здесь от 0 до S, если через S обозначить длину всей кривой AB.

Задача состоит в определении площади Q поверхности, полученной от вращения кривой AB вокруг оси x. Роль независимой переменной играет .

Если выделить элемент ds кривой (чертёж 12), то его приближённо можно принять за прямолинейный и вычислять соответствующий ему элемент площади как площадь усечённого конуса с образующей ds и радиусами основания y и y+dy. Тогда, по известной из школьного курса формуле, . Впрочем, это ещё не та формула, к которой мы стремимся – произведение двух бесконечно малых надо отбросить. Мы придём к линейной относительно формуле , откуда уже, «суммируя», окончательно получим (12)

где под y надлежит разуметь фигурирующую в (11) функцию .

Если вернуться к общему параметрическому заданию (10) нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену переменной, преобразуем его к виду (чертёж 12)

. (12а)

В частности, если кривая задана явным уравнением , так что в роли параметра оказывается x, будем иметь:

. (12б)

Примеры:

1). Определить площадь поверхности шарового пояса.

Пусть полукруг, описанный около начала радиусом r, вращается вокруг оси x. Из уравнения круга имеем ; далее, , , . В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы и , по формуле (12б) будет , где h – высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса. В частности, при и , т.е. при , получаем площадь всей шаровой поверхности .