Метод простих ітерацій

Із вихідної системи (1.2.1) шляхом еквівалентних перетворень переходимо до системи виду:

 

 (1.3.1)

 

Ітераційний процес, який визначається формулами

 

,

 

можна почати, задав початкове приближення . Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є одно з двох умов:

 

 чи .

Розпишемо першу умову:

 

 при

 при .

 

Розпишемо другу умову:

 

 при

 при .

 

Розглянемо один із способів приведення системи (1.2.1) до виду (1.3.1), допустиме збіжній ітерації.

Нехай задана система другого порядку виду:

 

.

 

Потрібно привести її до виду:

 

.

 

Множимо перше рівняння системи на невідому постійну , друге - на , потім додаємо їх і добавляємо в обидві частини рівняння . Отримаємо перше рівняння перетвореної системи

 

 

де .

Далі, помножимо перше рівняння системи на невідому сталу , друге - на , потім додамо їх і добавляємо в обидві частини рівняння . Тоді друге рівняння перетвореної системи буде мати вид

 

де .

 

Невідомі сталі  визначимо з допустимі умови збіжності

 

 и .

 

Запишемо ці умови більш детально:

 

 

Припустимо, що вирази під знаком модуля дорівнюють нулю, і отримаємо систему з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими для визначення сталих :

 

.

 

При такому виборі параметрів умови збіжності будуть дотримані, якщо часткові похідні функцій  і  будуть змінюватись не дуже швидко в околі точки .

Щоб розв’язати систему, потрібно задати початкове приближення  и обчислити значення похідних  і ,  в цій точці. Обчислення  здійснюється на кожному  кроці ітерацій, при цьому , , .

Метод простих ітерацій є найбільш універсальним і простим для реалізації на ЭОМ. Якщо система має великий порядок, то застосування даного метода, який має повільну швидкість збіжності, не рекомендується. В цьому випадку, використовують метод Ньютона, який має швидшу збіжність.