2020-01-15
97
Нехай (
) — деяка послідовність невироджених n-матриць. Тоді, очевидно, послідовність задач
, k = 0,1,2,...
маємо ті ж розв’язки, що і вихідне рівняння F(x)=0, і для приближеного знаходження цих розв’язків можна формально записати ітераційний процес
, k = 0,1,2,... (1.4.1)
Який має вигляд метода простих ітерацій (1.3.1) при 
. У випадку 
- це дійсно МПІ з лінійною збіжністю послідовності (
) Якщо же 
різні за різних k, то формула (1.4.1) визначає велику кількість ітераційних методів з матричними параметрами . Розглянемо деякі з цих методів.
Припустимо 
, де
— матриця Якобі вектор-функція F(x). Підставимо це в (1.4.1), отримаємо явну формулу метода Ньютона
, (1.4.2)
Цю формулу, що вимагає перетворення матриць на кожній ітерації, можна переписати в неявному вигляді:
. (1.4.3)
Використання (1.4.3) припускає при кожному k = 0,1,2,... розв’ язок лінійної алгебраїчної системи
відносно векторній поправці 
, а потім добавлення цієї поправки до поточного наближення для отримання наступного:
.
До розв’язку таких лінійних систем можна використовувати найрізноманітніші методи як прямі, так і ітераційні в залежності від розмірності n розв’язуваної задачі і специфіки матриць Якобі 
.
Порівнюючи (1.4.3) з формальним розкладом F(x) в ряд Тейлера
,
бачимо, що послідовність (
) в методі Ньютона отримується в результаті заміни при кожному k=0,1,2,... нелінійного рівняння F(x) = 0 чи, при допустимій гладкості F(x)), рівняння
лінійним рівняння
тобто з покроковою лінеаризацією. Як наслідок цього факту, можна полягати, що при допустимій гладкості F(x) і достатньо гарному початковому наближенні 
збіжність, яка виникає методом Ньютона послідовності () до розв’язку 
буде квадратичною і в багаторазовому випадку.
Новим, порівняно з скалярним випадком, фактором, який ускладнює використання метода Ньютона до розв’язання n-вимірних систем, є необхідність розв’язання n-вимірних лінійних задач на кожній ітерації, обчислення яких збільшується зі збільшенням n, тобто кажучи, непропорційно швидко. Зменшення таких затрат є одним з напрямків модифікації метода Ньютона.
