Задание II. Импульсная характеристика

Найдем импульсную характеристику – это реакция системы на входное воздействие в виде дискретной дельта-функции δ (n), т.е.

если x (n) = δ (n), то y (n) = w (n), где

 

.

 

Получим для нашей системы

 

w(n)=1*δ(n)+1*δ(n-1)+1*δ(n-2)+1*δ(n-3)+0,5*w(n-1)+0,3*w(n-2)

 

При этом мы предполагаем, что наша система каузальная или физически реализуемая, что означает, что реакция (отклик) системы не может наступить раньше подачи входного сигнала.

Т.к. входной сигнал подается в момент n = 0, то импульсная характеристика должна быть равна w(n) = 0 при отрицательных значениях n.

При n = 0 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(0)=δ(0)+δ(0-1)+δ(0-2)+δ(0-3)+0,5*w(0-1)+0,3*w(0-2)

w(0)=1+0+0+0+0+0=1

 

При n = 1 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(1)=δ(1)+δ(1-1)+δ(1-2)+δ(1-3)+0,5*w(1-1)+0,3*w(1-2)

w(1)=0+1+0+0,5+0=1,5

 

При n = 2 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(2)=δ(2)+δ(2-1)+δ(2-2)+δ(2-3)+0,5*w(2-1)+0,3*w(2-2)

w(2)=0+0+1+0+(0,5*1,5)+1=2,05

 

При n = 3 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(3)=δ(3)+δ(3-1)+δ(3-2)+δ(3-3)+0,5*w(3-1)+0,3*w(3-2)

w(3)=0+0+0+1+0,5*2,05+0,3*1,5=2,47

 

При n = 4 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(4)=δ(4)+δ(4-1)+δ(4-2)+δ(4-3)+0,5*w(4-1)+0,3*w(4-2)

w(4)=0+0+0+0+0,5*2,47+0,3*2,05=1,85

 

При n = 5 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(5)=δ(5)+δ(5-1)+δ(5-2)+δ(5-3)+0,5*w(5-1)+0,3*w(5-2)

w(5)=0+0+0+0+0,5*1,85+0,3*2,47=1,66

 

При n = 6 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(6)=δ(6)+δ(6-1)+δ(6-2)+δ(6-3)+0,5*w(6-1)+0,3*w(6-2)

w(6)=0+0+0+0+0,5*1,66+0,3*1,85=1,38

 

При n = 7 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(7)=δ(7)+δ(7-1)+δ(7-2)+δ(7-3)+0,5*w(7-1)+0,3*w(7-2)

w(7)=0+0+0+0+0,5*1,38+0,3*1,66=1,19

 

При n = 8 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(8)=δ(8)+δ(8-1)+δ(8-2)+δ(8-3)+0,5*w(8-1)+0,3*w(8-2)

w(8)=0+0+0+0+0,5*1,19+0,3*1,38=1,01

 

При n = 9 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(9)=δ(1)+δ(9-1)+δ(9-2)+δ(9-3)+0,5*w(9-1)+0,3*w(9-2)

w(9)=0+0+0+0+0,5*1,01+0,3*1,19=0,86

При n = 10 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(10)=δ(10)+δ(10-1)+δ(10-2)+δ(10-3)+0,5*w(10-1)+0,3*w(10-2)

w(10)=0+0+0+0+0,5*0,86+0,3*1,01=0,73

 

При n = 11импульсная характеристика системы будет равна

 

w(11)=δ(11)+δ(11-1)+δ(11-2)+δ(11-3)+0,5*w(11-1)+0,3*w(11-2)

w(11)=0+0+0+0+0,5*0,73+0,3*0,86=0,62

 

При n = 12 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(12)=δ(12)+δ(12-1)+δ(12-2)+δ(12-3)+0,5*w(12-1)+0,3*w(12-2)

w(12)= 0+0+0+0+0,5*0,62+0,3*0,73=0,53

 

При n = 13 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(13)=δ(13)+δ(13-1)+δ(13-2)+δ(13-3)+0,5*w(13-1)+0,3*w(13-2)

w(13)=0+0+0+0+0,5*0,53+0,3*0,62=0,45

 

При n = 14 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(14)=δ(14)+δ(14-1)+δ(14-2)+δ(14-3)+0,5*w(14-1)+0,3*w(14-2)

w(14)=0+0+0+0+0,5*0,45+0,3*0,52=0,38

 

При n = 14 импульсная характеристика системы будет равна

 

w(15)=δ(15)+δ(15-1)+δ(15-2)+δ(15-3)+0,5*w(15-1)+0,3*w(15-2)

w(15)=0+0+0+0+0,5*0,38+0,3*0,45=0,32

Рисунок 1: импульсная характеристика