Доказательство того, что в группе n элементов

Курсовая работа

По дисциплине:

«Дискретная Математика»

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x²=y²=(xy)³>»

 

 

Выполнил: .

Группа: ЭКТ-35

Проверил: Клюшин А.В.

 

Москва 2009г.

Оглавление.

 

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление………………………………………………………………...2

1. Теоретическая часть…………………………………………………...3

1.1 Понятие группы……………………………………………………3

1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

2.1 Доказательство того, что в группе n элементов………………..7

2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9

2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

2.4. Составление таблицы подгрупп, порожденных

 двумя элементами………………………………………………………11

2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы…………………………………..……..15

.

 

 

Теоретическая часть.

Понятие группы.

Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G ´ G ® G. Если (g1,g2)Î G1 ´ G2, то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g1 • g2, где (•) — знак

бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) " g1, g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• (g2• g3)

2) $ e Î G: e • g = g • е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) " g Î G $ g-1 ÎG: g • g-1 = g-1 • g = e, элемент g-1для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) " g1, g2 Î G g1•g2 = g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g Î G | gh = hg для любого h Î G }.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g-1

1 и g-1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

g1

-1 = g1

-1 • e= g1

-1 •g • g2

-1 = e • g2

-1 = g2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и

столбца h Î G пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

 

Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е Î H;

2) " h1, h2 Î H h1 • h2 ÎH;

3) " h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

перестановка.

Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g Î G, то множество gH = { gh | h

Î H}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а1,…, аn Î G. Через < а1,…, аn > будем обозначать

наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а1,…, аn. Если < а1,…, аn >= G,

то элементы {а1,…, аn } будем называть системой образующих группы G. Систему

{а1,…, аn } будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется элемент g Î G такой, что <g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g3 = g1h1 = g2h2 для некоторых

h1, h2 ÎH. Но тогда g1 = g2h2h1

-1 Î g2H, а g2=g1h1h2

-1 Îg1H. Отсюда следует, что g1H

= g2Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом

g ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1 = gh2, то, умножая равенство слева на g-1, получим h1= h2.

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g2,..., gk-1, е} образует подгруппу в

G. Следствие доказано.

 

Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

Соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1, у -1. Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать z n

вместо {

n

z...z. Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е. Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово znzm договоримся

сокращать и записывать как zn+m. Например, х3х-4 = х -1, х2х-2 = е.

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·), которую будем на-

зывать умножением. Если u=z1...zn и v = t1…tm - два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z1...zn t1...tm, в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е·u = u·е = u. Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

z1...zn, то u-1 = 1 1

n 1 z - ...z -.

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у.

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F - свободная группа с образующими x1...xn. Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v-1 =

е. Пусть задана система из k соотношений

                                                                        (1)                                 

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w1,...,

wk Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w1,..., wk, обозначим N. Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w1,..., wk. Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N. Если u - слово, u Î F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1. Группу G будем называть группой с

образующими x1...xn и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x,...,x | u = v,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если, хn = 1 (n > 1), то х

-1 = хn- 1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x1 < x2 < ... < xn. В слове

1 k

1 k u = t a ...t a можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t + ¹. Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = t a ...t a и 1 m

1 m v = s b ...s b, где i i t,s Î{ x1...xn }.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m a + ... +a < b + ... + b. В случае

1 k 1 m a + ... +a = b + ... + b будем считать, что u < v, если 1 1 t < s или 1 1 t = s, но

1 1 a > b. Если 1 1 t = s и 1 1 a = b, то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x2,xy, yx, y2,x3,x2 y,xyx,xy2, yx2, yxy, y2 x, y3,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G). Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

 

Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

 

G=< x, y| x² = y²=(xy)³ >, n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

 

xy=yxyx y² =(yxyxxyxy)xy, yxyxxyxy=e, x⁸ =y⁸ =e

Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

 

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x ⁸ = e, y ⁸ = e, x² = y²=(xy)³.

 

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

 

1. e 

2. x

3. y

4. x²

5. xy= x² yxyx

6. yx= x³ yxy

7. x³

8. x² y =y x² = y³

9.  xyx

10. x y² = y² x

11. yxy= x⁵ yx= x³ yx y²

12. x⁴ =x y² x= x² y²

13. x³ y= x y³ =xy x²

14. x² yx= yx y²= y³ x=y x³

15. xyxy=yxyx

16. x⁵ = x³ y²

17. x⁴ y = x² y x²

18. x³ y x=xyx y²

19. x² y xy=yxy x²

20. x⁶ = x⁴ y²

21. x⁵ y = x³ y x² = x⁴ yxy

22. x⁴ yx= x² yx y²

23. x⁷ = x⁵ y²

24. x⁶ y = x⁴ y x²

 

Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

1. e

2. x

3. y

4. x²

5. xy

6. yx

7. x³

8. x² y

9. xyx

10. x y²

11.   yxy

12. x⁴

13. x³ y

14.   x² yx

15. xyxy

16. x⁵

17. x⁴ y

18.   x³ y x

19. x² y xy

20. x⁶

21.   x⁵ y

  22. x⁴ yx

   23. x⁷

  24. x⁶ y