1. o(e)=1
2. o(x)=8
3. o(y)=8
4. o(x2)=4 x2x2x2 x2=e
5. o(xy)=12
6. o(yx)=12
7. o(x3)=4
8. o(x2 y)=4
9. o(xyx)=8
10. o(yxy)=8
11. o(x4)=2
12. o(x3 y)=8
13. o(x2 yx)=4
14. o(xyxy)=6
15. o(yxyx)=4
16. o(x5)=8
17. o(x4 y)=8
18. o(x3 y x)=8
19. o(x2 y xy)=8
20. o(x6)=4
21. o(x5 y)=8
22. o(x4 yx)=4
23. o(x7)=8
24. o(x6 y)=4
В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:
Обозначение | H1 | H2 | C1 | L1 | L2 | C2 | C3 | H3 | c4 | H4 | A1 | H5 | C5 | F1 | H6 |
Элемент | x | y | x2 | xy | yx | x3 | x2 y | xyx | yxyx | yxy | x4 | x3 y | x2 yx | xyxy | x5 |
Обозначение | H7 | H8 | H9 | C6 | H10 | C7 | H11 | C8 |
Элемент | x4 y | x3 y x | x2 y xy | x6 | x5 y | x4 yx | x7 | x6 y |
Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.
Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.
Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x 8 = e, y 8 = e,
x2 = y2=(xy)3, а также на ряде производных соотношений.
Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:
|
|
e | a1 | C1 | c2 | c3 | c4 | c5 | c6 | C7 | C8 | H1 | H2 | H3 | H4 | H5 | H6 | H7 | H8 | H9 | H10 | H11 | F1 | L1 | L2 | ||
a1 | e | C6 | H11 | C8 | H5 | F1 | C1 | L2 | C3 | H6 | H7 | H4 | H3 | C4 | H1 | H2 | H9 | H8 | L1 | C2 | C5 | H10 | C7 | ||
C1 | C6 | A1 | H6 | H7 | L1 | C7 | e | F1 | H2 | C2 | C3 | H8 | H9 | H10 | H11 | C8 | H4 | H3 | C4 | H1 | L2 | H5 | C5 | ||
C2 | H11 | h6 | C6 | H10 | C3 | H4 | H1 | H9 | l1 | A1 | H5 | C7 | L2 | C8 | e | C4 | F1 | C5 | H2 | C1 | H3 | H7 | H8 | ||
C3 | C8 | H7 | H10 | C6 | H4 | H11 | H2 | H1 | C1 | C5 | A1 | C2 | H10 | L1 | F1 | e | H5 | C4 | H8 | L2 | C2 | H9 | H6 | ||
C4 | H5 | L1 | C3 | H4 | C5 | A1 | H10 | C6 | H3 | H2 | H1 | C2 | H11 | F1 | H8 | H9 | H6 | H7 | L2 | C8 | e | C7 | C1 | ||
C5 | F1 | C7 | C8 | H3 | A1 | H5 | L2 | H10 | H4 | H7 | H9 | H11 | C2 | e | H2 | H8 | H1 | H6 | C1 | C3 | C4 | C6 | L1 | ||
C6 | C1 | E | H1 | H2 | H10 | L2 | A1 | C5 | H7 | H11 | C8 | H9 | H8 | L1 | C2 | c3 | H3 | H4 | H5 | H6 | C7 | C4 | F1 | ||
C7 | L2 | F1 | H2 | H8 | C6 | H10 | C5 | C4 | H9 | C8 | H3 | H1 | H6 | C1 | C3 | F1 | C2 | H11 | A1 | H7 | L1 | e | H5 | ||
C8 | C3 | H2 | L2 | C1 | H3 | C2 | H7 | H6 | C6 | F1 | e | H10 | L1 | H4 | C5 | A1 | C4 | H5 | H9 | C7 | H11 | H8 | H1 | ||
H1 | H6 | C2 | A1 | H5 | H2 | H8 | H11 | H4 | C4 | C1 | L1 | C5 | F1 | H7 | C6 | H10 | C7 | L2 | C8 | e | H9 | C3 | H3 | ||
H2 | H7 | C3 | C5 | A1 | H8 | H6 | C8 | H11 | e | L2 | C1 | C4 | H5 | H9 | C7 | C6 | L1 | H10 | H3 | F1 | H1 | H4 | C2 | ||
H3 | H4 | H8 | H10 | L2 | C2 | C3 | H9 | H7 | C7 | H5 | F1 | C6 | C1 | H11 | C4 | C5 | e | A1 | H1 | L1 | C8 | H6 | H2 | ||
H4 | H3 | H9 | L2 | H10 | H11 | C2 | H8 | H2 | L1 | F1 | c5 | C1 | C6 | C8 | h5 | C4 | A1 | e | H6 | C7 | C3 | H7 | H1 | ||
H5 | C4 | H10 | H4 | H11 | F1 | e | L1 | C1 | C2 | H8 | H6 | C3 | C8 | C5 | H9 | H1 | H7 | H2 | C7 | H3 | A1 | L2 | C6 | ||
H6 | H1 | H11 | e | C4 | C5 | H9 | C2 | H3 | H5 | C6 | H10 | F1 | C5 | H2 | C1 | L1 | L2 | C7 | C3 | A1 | H8 | C8 | H4 | ||
H7 | H2 | C8 | F1 | e | H9 | H1 | C3 | C2 | A1 | C7 | C6 | H5 | C4 | H8 | L2 | C1 | H10 | L1 | H4 | C5 | H6 | H3 | H11 | ||
H8 | H9 | H4 | C4 | H5 | H2 | H1 | H3 | C8 | F1 | C7 | L2 | e | A1 | H7 | L1 | H10 | C1 | C6 | C2 | C5 | H2 | H11 | C3 | ||
H9 | H8 | H3 | H5 | F1 | H1 | H2 | H4 | C3 | C5 | L1 | C7 | A1 | e | H6 | H10 | L2 | C6 | C1 | H11 | C4 | H7 | C2 | C8 | ||
H10 | L1 | C4 | H9 | H1 | L2 | C1 | H5 | A1 | H6 | H4 | H11
| H7 | H2 | C7 | H3 | C2 | C8 | C3 | F1 | H8 | C6 | C5 | e | ||
H11 | C2 | H1 | C1 | L1 | C8 | H3 | H6 | H8 | H10 | e | C4 | L2 | C7 | C3 | A1 | H5 | C5 | F1 | H7 | C6 | H4 | H2 | H9 | ||
f1 | C5 | L2 | H3 | C2 | e | C4 | C7 | L1 | H11 | H9 | H8 | C8 | C3 | A1 | H7 | H6 | H2 | H1 | C6 | H4 | H5 | C1 | H10 | ||
l1 | H10 | H5 | H8 | H6 | C7 | C6 | C4 | e | H1 | H3 | C2 | H2 | H7 | L2 | H4 | H11 | C3 | C8 | C5 | H9 | C1 | F1 | A1 | ||
L2 | C7 | C5 | H7 | H9 | C1 | L1 | F1 | H5 | H8 | C3 | H4 | H6 | H1 | C6 | C8 | H3 | H11 | C2 | e | H2 | H10 | A1 | C4 |
Основным методом проверки правильности составления является присутствие
каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце один раз.
Из данной таблицы находим центр группы, сравнивая строку и столбец одного и
того же элемента, т.е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.
В итоге получаем следующее множество: Z (G) = { e, a1,c1 }.