Вывод формулы Вульфа – Брэгга

 

Пусть на линейную цепочку атомов падает рентгеновское излучение с длиной волны λ (рис. 8.10).

 

                                                                                                                                

Рис. 8.10.Рассеяние рентгеновского излучения цепочкой атомов

 

Сравним дифракцию рентгеновского излучения цепочкой атомов с дифракцией света на обычной дифракционной решетке. Запишем условие наблюдения максимумов при дифракции световых волн на дифракционной решётке.

dsinα = nλ.

Здесь: d – период решётки; α – угол дифракции (α = 90–θ, где θ – угол скольжения); n – порядок максимума.

В случае плоской волны рентгеновских лучей для сложения амплитуд при интерференции всех колебаний также необходимо, чтобы разность хода лучей, идущих от каждой пары соседних атомов, содержала целое число длин волн. Поэтому условие получения максимумов при интерференции рентгеновских лучей в скалярной форме запишется как (рис. 8.9):

a(cosα − cosα₀) = mλ.

В векторной форме это уравнение (оно называется условием Лауэ) выглядит следующим образом:

as = mλ.

Действительно: аs = а s cos θ.

Здесь s₀ – единичный вектор в направлении падающего луча;

s – единичный вектор в направлении отклонённого луча;

S – вектор разности векторов s и   s₀: S = s – s₀.

В случае интерференции на трёхмерной пространственной решётке с па­раметрами a, b, c должны быть соблюдены три условия Лауэ:

as =  m λ

bs =  p λ

cs =   q λ

 

 

Целые числа m, p, q определяют порядок максимума. Отражённый от плоскостей (hkl) с порядком отражения n луч идёт вдоль направления [mnp] и характеризуется условиями: m = nh, p = nk, q = nl.

Из свойств обратной решётки известно, что каждый узел обратной решётки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решётки кри­сталла. Следовательно, направление вектора обратной решётки совпадает с на­правлением отражения от плоскостей {hkl}. Соответственно n-й узел обратной решётки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей. Три уравнения Лауэ можно объединить в одно:

 

 

Докажем это соотношение. Проведём плоскость, которая поделит угол между падающим и отклонённым лучом пополам (рис. 8.11).

              

Рис. 8.11. Отражение рентгеновских лучей атомной плоскостью

в обратной решетке

 

Эта плоскость перпендикулярна вектору S, причём

S = 2sinθ.

Вектор s направлен по нормали к отражающей плоскости с индексами h, k, l, и он является вектором обратной решётки для плоскостей (hkl) – R.

 

 

С одной стороны:  R = h a* + k b* + l c*.   С другой стороны:

Если равны между собой векторы R и S / λ, то равны и их модули: R=S/λ,

но S = 2sinθ. Следовательно,

                                                    R_hkl= 2sinθ/λ.

Из свойства обратной решётки: Rhkl = n/dhkl.

 Тогда                                         2sinθ/λ = n/dhkl

В итоге получили формулу Вульфа–Брэгга: 2dsinθ = nλ.

 

Принцип дифракционных методов исследования состоит в том, что кристаллы являются естественными дифракционными решётками для рентгеновских лучей и длины волн рентгеновского излучения соизмеримы с меж­атомными расстояниями в кристаллах. Межатомные расстояния в кристаллах имеют порядок несколько нанометров. В этом же диапазоне лежит спектр рентгеновского излучения: 10 –10^–2 нм.

Электроны в электронном микроскопе можно ускорить в электрическом поле до скоростей, при которых он обнаруживает свои волновые свойства и представляется в виде волны с длиной волны порядка нескольких нанометров. Направляя такой пучок ускоренных электронов на кристалл, можно полу­чить электроннограмму, отражающую симметрию кристалла. В отличие от рентгенограммы метод получения электроннограммы значительно затруд­нён, так как для получения последней нужно использовать специально подго­товленные очень тонкие кристаллы, так называемые реплики