Кристаллографические определения элементов симметрии

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

СИММЕТРИЯ

Лекция 3

Лекция 3

 

Симметрия формы кристаллических многогранников

Содержание

3.1. Элементы симметрии.

3.2. Кристаллографические определения элементов симметрии.

3.3. Деление кристаллических многогранников по категориям.

3.4. Классы симметрии и пространственные группы.

3.5. Сингонии и системы координат.

 

Элементы симметрии

 

   Кристаллы разных веществ отличаются друг от друга по своим формам. Каменная соль – это всегда кубики, горный хрусталь – шестигранные призмы, снежинки – шестилучевые звёздочки. Симметричной является бабочка, симметричны узоры орнамента, симметрично колесо. Симметричными мы считаем тела, состоящие из равных частей, которые могут накладываться друг на друга.

            

   Симметричной фигурой (многогранником) называется фигура (многогранник), которая может совместиться сама с собой в результате симметричных преобразований.

   Симметричными преобразованиями (операциями) назы­ваются отражения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с са­мим собой.

   Элементами симметрии называются воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются отражения и вращения. Ещё симметрия бывает зеркальной: зеркально равны крылья бабочки, правая и левая руки.

   К элементам симметрии многогранников относятся зеркальная плоскость симметрии, ось симметрии и центр симметрии (центр инверсии). Рассмотрим каждый из них в отдельности.

   1. Зеркальная плоскость симметрии (или просто плоскость симметрии) – плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг от­носительно друга как предмет и его зеркальное отражение (рис. 3.1).

 

                                         

  

Рис.3.1. Зеркальная плоскость симметрии сердца

 

Снежинка имеет 6 плоскостей симметрии, которые располагаются в строго опреде­лённом порядке и пересекаются между собой. В ортоклазе имеется 1 плоскость симметрии. В кварце и аксините - нет ни одной плоскости симметрии (рис. 3.2). Куб имеет 9 плоскостей симметрии (две из них показаны на рис. 3.3).

 

Рис. 3.2. Кристаллы ортоглаза и аксинита

 

 

 

Рис. 3.3. Плоскости симметрии куба

 

2. Ось симметрии — прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол фигура совмещается сама с собой. Приведённая на рис. 3.4 фигура имеет ось симметрии третьего порядка.

 

                                             

 

Рис. 3.4. Ось симметрии 3-го порядка

 

Порядок оси симметрии показывает, сколько раз фигура (многогранник) совмещается сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. Порядок оси определяют углы поворота, при которых многогранник совмещается сам с собой.

Если фигура совмещается сама с собой при повороте на:

– 180°, то она имеет ось симметрии 2-го порядка;

– 120°, то она имеет ось симметрии 3-го порядка;

– 90°, то она имеет ось симметрии 4-го порядка;

– 60°, то она имеет ось симметрии 6-го порядка.

В кристаллическом многограннике нет осей 5-го и 7-го порядков. В природе и произведениях искусства можно найти примеры осей симметрии разного порядка: ромашка имеет ось симметрии n-го порядка; морская звезда – 5-го по­рядка; пчелиные соты – 6-го порядка; осьминог – 8-го порядка; шар – беско­нечного порядка. Ортоклаз, с его единственной плоскостью симметрии, имеет только одну ось 2-го порядка. Кианитвообще не имеет ни одной оси симметрии.

Рис. 3.4. Оси симметрии куба

Рис. 3.5. Ось симметрии цилиндра и конуса

 

Куб (каменная соль) имеет: три оси 4 - го порядка; четыре оси 3 - го порядка; шесть осей 2 - го порядка (рис. 3.4).

 Круглый конус и цилиндр имеют ось симметрии бесконечного порядка:

как ни повернуть их вокруг своей оси, фигуры совместятся сами с собой (рис. 3.5).

  Ось симметрии может быть полярной и неполярной. У цилиндра ось симметрии полярная. У конуса ось симметрии неполярная. Обозначение полярных и неполярных осей показано на рис. 3.5. Понятие о полярных осях и полярных направлениях очень важно для понимания свойств кристалла.

   Полярным называется направление, концы которого:

– геометрически и физически не являются эквивалентными;

– их нельзя совместить друг с другом никакими преобразованиями симметрии.

3. Центр симметрии – точка внутри фигуры, характери­зующаяся тем, что любая прямая, проведённая через центр симметрии, встреча­ет одинаковые точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях. Вомногих кристаллах есть центр симметрии, но в кристалле кварца его нет (рис. 3.6).

От существования центра симметрии (вернее от его отсутствия) зависят и форма кристалла, и многие его физические свойства.

 

 

Рис. 3.6. Кристаллы, у которых отсутствует центр симметрии

 

4. Центр инверсии – это зеркальное отражение в точке: каждая точка фигуры отражается в центре так, что фигура как бы поворачивается с лица наиз­нанку.

 

 

Рис. 3.7. Центр инверсии

Кристаллографические определения элементов симметрии

Итак, характерными элементами симметрии геометрических фигур являются плоскости симметрии, оси симметрии разных порядков, центр симмет­рии и центр инверсии. Для обозначения элементов симметрии и преобразований элементов симметрии введены услов­ные символы по международной символике и символике, основанной на фор­мулах симметрии. Далее в обозначениях индекс по международной символике будет стоять первым, а на формулах симметрии – вторым.

Плоскость симметрии имеет символику – m; P. Плоскости симметрии располагаются в симметричной фигуре строго определённо и имеют между собой точку пересечения (рис. 3.8).

 

Рис. 3.8. Точка пересечения осей симметрии

 

Ось симметрии имеет символику – n, L_n: второго порядка – 2, L₂; третье­го порядка – 3, L₃; четвёртого порядка – 4, L₄; шестого порядка – 6, L₆.

Инверсионная ось обозначается стрелками, при этом полярным называется направление, концы которого геометрически и физически не являются эк­вивалентными и их нельзя совместить друг с другом никакими преобразова­ниями симметрии (рис. 3.9). На рисунке верхняя стрелка является полярной: два её конца нельзя совместить друг с другом. Верхняя стрелка не имеет центра симметрии. Нижняя стрелка имеет центр симметрии.

 

            

 

Рис. 3.9. Обозначения кристаллов с полярной и неполярной осью симметрии

 

К точечным преобразованиям элементов симметрии относятся: отражение в плоскости, пово­рот вокруг оси симметрии, зеркальное отражение в центре симметрии. При точечных преобразованиях фигура не перемещается как целое и хотя бы одна ее точка остается на месте. Например, на рис. 3.10 показана схема симметричного преобразования в центре инверсии и обозначение центра инверсии.

Рис. 3.10. Обозначение инверсионной оси

 

Принцип Кюри: если фигуры накладываются друг на друга (в кристаллах – два явления или явление и окружающая его среда), то сохраняется лишь та симметрия, которая является общей для обеих.

 

В реальных кристаллах по­стоянно нужно учитывать такое наложение и взаимодействие операций сим­метрии. Далее рассматривается симметрия самой геометрической фигуры.