Принцип тензорного исчисления

 

Для описания физических свойств кристаллов пользуются правовинтовой системой координат. Для кубической, тетрагональной и ромбической сингоний оси этой кристаллографической системы координат Х_ь Х₂ и Х₃ совпадают с осями Х, У, Z. Уравнения, описывающие одно и тоже явление, записываются по-разному в разных системах координат.

Чтобы прийти к единому результату, нужно знать правила перехода из одной системы координат в другую. Эти преобразования особенно важны в кри­сталлофизике, поскольку характерной особенностью кристаллов является ани­зотропия их свойств. В изотропных веществах свойства не зависят от направ­ления, поэтому описываются скалярными величинами.

В кристаллах они должны описываться векторными и тензорными величинами. В кристаллах направление воздействия и направление явления, вы­званного этим воздействием, могут не совпадать, вследствие анизотропии его свойств. Взаимную связь между воздействием и достигнутым эффектом (измеряемым явлением) можно представить соотношением:

явление = свойство - воздействие.

1. Если воздействие и вызванное им явление изотропны, то и соответствующее свойство изотропно (т.е. скалярно). Скалярные величины (тензоры нулевого ранга) не меняются при переходе от одной системы координат к другой.

К ним относятся: масса, плотность, температура, теплоёмкость, внут­ренняя энергия, энтропия. Тензор нулевого ранга, следовательно, описывает та­кие свойства, как плотность, сжимаемость, теплоёмкость.

 

2. Если при изотропном воздействии на кристалл возникающее явление имеет векторный характер, то соответствующее свойство будет векторным. Например, пироэлектрический эффект: при однородном нагреве (скаляр) кристалл электризуется (возникает вектор поляризации); коэффициент пироэлек­трического эффекта (векторная величина).

Вектор (тензор первого ранга) определяется тремя компонентами по осям координат. При переходе от прямоугольной системы координат Х_ь Х₂, Х₃ к новой, также прямоугольной X^′₁,X′₂,X′₃, но отличающейся от прежней поворотом на угол φ и имеющей с ней общее начало, векторная величина A преоб­разуется по закону:

А _i ^′ = с_ki A _k

где с_ik = cos(X′_i X_k); символы i, k = 1, 2, 3.

A₁, A₂, A₃ – компоненты вектора A,

A₁′, A^′₂, A′₃ – компоненты вектора A^′.

 

Угол поворота считается положительным, если при наблюдении из положительного конца оси в направлении к началу отсчета координат поворот от старой оси к новой оси происходит против часовой стрелки.

Например:

A₁′ = A₁ cos(X₁′X₁) + A₂ cos(X^′₂X₂) + A₃ cos(X′₃X₃)

A₁′ = с₁₁A₁ + c₁₂A₂ + c₁₃A₃

Для обратного перехода: А_i = с_ki А_k^′

Все равенства можно записать с помощью таблицы косинусов (рис. 7.3).

 

              

Рис. 7.3.Таблица косинусов

 

Тензор первого ранга описывает следующие свойства: пироэлектрический коэффициент, электрокалорийный коэффициент, теплоту поляризации; электрическую поляризацию при гидростатическом сжатии.

Свойства кристалла, связывающие воздействие и явления, могут описываться тензорами больших порядков: второго, третьего и т. д. Так, тензор вто­рого ранга имеет 9 = 3² независимых компонент:

11 12 13

21 22

23

31    32    ЗЗ

Тензор второго ранга связывает два вектора или скаляр и тензор первого ранга. Тензоры второго ранга преобразуются по закону, записанному в виде символического равенства:

А_ik” = с_ilс_kmА_lm

где i, k, l, m = 1, 2, 3; с – косинусы углов между осями старых и новых систем координат.

Тензор второго ранга, связывающий два вектора, описывает свойства: диэлектрические проницаемость и восприимчивость, магнитные проницаемость и восприимчивость, удельные электропроводность и сопротивление, коэффи­циент теплопроводности, тепловое сопротивление, термоэлектрические коэф­фициенты.

Тензор второго ранга, который связывает скаляр и тензор первого ранга, описывает следующие свойства: деформацию при гидростатическом сжатии, тепловое расширение, термическое напряжение, термоэлектрические коэффициенты Пельтье.

 

Тензор третьего ранга имеет 27 = 3³ компонент и связывает вектор и тензор второго ранга. Тензор третьего ранга описывает свойства: модули прямого и обратного пьезоэлектрического эффекта; коэффициент линейного электрооптического эффекта; постоянную Холла.

 

Тензор четвёртого ранга имеет 81 = 3⁴ компонент и связывает два тензо­ра второго ранга. Тензор четвёртого ранга описывает свойства: квадратичный электрооптический эффект, электрострикцию, эффект Коттона – Мутона, коэффициент магнитострикции, пьезооптический коэффициент, коэффициенты упругости.

Для свойств, описываемых тензорами более высоких порядков, многие компоненты векторов оказываются равными нулю или равными друг другу. Чтобы применить на практике физическое свойство кристалла, нужно знать: изотропно оно или анизотропно; установить характер анизотропии; определить ранг тензора; установить связь тензора с симметрией кристалла.

Симметрия физического свойства кристалла тесно связана с кристаллографической симметрией этого кристалла, а именно с его точечной группой (клас­сом) симметрии. Чем ниже симметрия кристалла, тем сложнее анизотропия его свойств. Чтобы измерить тензорное свойство кристалла, надо сделать столько независимых измерений, сколько независимых компонент содержит тензор это­го свойства. Число компонентов тензора значительно уменьшается благодаря законам термодинамики и симметрии кристалла. Пример: для тензора четвёрто­го порядка число независимых компонент для упругих констант кристалла уменьшается с 81 до 21 и далее уменьшается из-за симметрии кристалла. Чем выше симметрия, тем меньше число независимых компонент: в кубической сингонии их всего три.

 

Антисимметрия

Преобразования антисимметрии вводятся для объектов, имеющих свойство менять знак. Ввёл понятие антисимметрии А.В. Шубников. Примером анти­симметрии может служить существование положительного и отрицательного электрического заряда.

Операции антисимметрии преобразуют объект в симметрично эквивалентное положение и одновременно меняют его знак. Реально к таким объектам от­носятся:

- электрон и позитрон;

- проводник в диэлектрике и диэлектрик в проводнике;

- капля воды в воздухе и пузырёк воздуха в воде;

- фотографические негатив и позитив;

- электрон и дырка в полупроводнике;

- формы роста и растворения кристаллов.

Антиравными считаются фигуры, геометрически равные, но имеющие разный знак (рис. 7.4). Группы преобразований, в которые входят операции антисимметрии, называются черно-белыми группами.

Рис. 7.4.Симметричные и антисимметричные преобразования

                 

 

Для конечных кристаллографических фигур существует 58 точечных чёрно-белых групп. Введение антисимметричной трансляции увеличивает число ячеек Бравэ на плоскости от 5 до 10, а в пространстве вместо 14 серых ячеек Бравэ получается 36 чёрно-белых ячеек Бравэ. Существует 1651 чёрно-белых, так называемых Шубниковских групп, в которые входят 230 известных про­странственных групп.

Понятие антисимметрии играет существенную роль при определении структуры кристаллов и симметрии элементарных частиц. С помощью чёрнобелой симметрии описываются некоторые физические свойства кристаллов, например, их магнитные свойства. В структуре вюрцита горизонтальная плос­кость антисимметрии, проходящая по общему основанию каждого заселённого и пустого тетраэдров, преобразует пустой тетраэдр в заселённый и обратно.