Оптика и элементы атомной физики

 

ТЕМА 1: Развитие взглядов на природу света. Законы геометрической оптики.

 

§ 1. Корпускулярная и волновая теория света.

 

    Свет и его свойства люди начали изучать более 2000 лет назад, ещё в трактатах Евклида (300 г. до н. э.) формулируются законы прямолинейного распространения света и равенства углов падения и отражения. Однако слабостью подхода древних греков было отсутствие моделей, то есть, что же из себя представляет свет. Поэтому, в частности закон преломления, найденный ими экспериментально был записан неверно. Вместо отношения синусов (sin i /sin r = const) они писали отношение углов (i / r = const), что, в принципе, верно для малых углов. Этот закон правильно сформулировал Декарт. Он же впервые пытался объяснить закон преломления, исходя из корпускулярных представлений о свете. Эту традицию, объяснять свет как поток корпускул, продолжил и развил Ньютон. Он применил, естественно, сформулированные им законы механики к доказательству законов отражения и преломления света. Он предположил, что при отражении корпускула света испытывает упругое соударение с зеркалом. Отсюда легко выводится тот факт, что угол падения равен углу отражения. Ньютону удалось также вывести и закон преломления - sin i /sin r = const = n. Приведу его рассуждения. При упругом ударе корпускулы о поверхность нормальная составляющая её скорости v_n меняет свой знак на противоположный (модуль сохраняется одинаковым), касательная составляющая остаётся неизменной. Поэтому получим:

 

Из рисунка видно, что tg i = v_k / v_n = v_k /(- v_n) = - v_k /v_n = - tg i’, или i = i’, то есть угол падения равен углу отражения. При выводе закона преломления Ньютон также воспользовался своей механикой. Обозначим скорость света в вакууме – c, а скорость света в некой среде – v. Поскольку предполагалось, что касательная составляющая скорости остаётся постоянной при пересечении границы раздела, то c sin i = v sin r.

Получим sin i /sin r = v / c = const = n. Но поскольку i > r, то sin i > sin r и, следовательно, v > r. Получилось, что sin i/sin r = const – это правильно (соответствует сегодняшним знаниям), но v > c (т.е. скорость распространения света в среде больше, чем вакууме) – это неверно!

    Продолжая исследования свойства света, Ньютон также показал, что белый свет (видимый глазом) является сложным и содержит цвета радуги, причём, каждый из которых характеризуется своей преломляемостью. Он это объяснил различием в массах корпускул разного цвета. 

    Наряду с корпускулярной концепцией света в XVII в. возникла и начала развиваться волновая теория Гука-Гюйгенса. В "Трактате о свете" (1678 г.) Гюйгенс писал о свете, как о процессе распространения продольных деформаций (это было неверным предположением, поскольку свет – это поперечные колебания) в некоторой материальной среде, пронизывающей все тела - мировом эфире. Для анализа распространения этих деформаций Гюйгенс предложил простой метод, в основе которого лежит процесс распространения плоских волн в эфире. Рассмотрим доказательство закона преломления, приведенное Гюйгенсом:

    Пусть фронт плоской волны AB, распространяющийся в вакууме со скоростью c, падает под углом i на границу со средой, в которой скорость распространения равна v. Спустя некоторый промежуток времени Dt, волна, распространяющаяся из точки B, пройдёт путь BC = cDt и достигнет границ раздела. За то же время волна, распространяющаяся от точки A в среде со скоростью v, пройдёт путь AD = vDt. Направление распространения фронта волны DC в среде характеризуется углом преломления r. Из рисунка видно, что сторона AC является одновременно гипотенузой двух прямоугольных треугольников и AC = c×Dt /sin i = v×Dt /sin r. Отсюда, после сокращения Dt получаем: sin i /sin r = c / v = const = n (т.е., по сравнению с выражением, полученным Ньютоном, строго наоборот). Именно такое выражение соответствует современным представлениям о свете. То есть, Гюйгенс здесь оказался прав!  

    Более общая формулировка закона распространения света была дана Ферма (1601-1655). Согласно принципу Ферма, лучи света распространяются по пути, приводящему к цели в кратчайшее время. С его помощью также можно доказать справедливость законов отражения и преломления света. Следует отметить, что принцип Ферма не утратил своего значения до сих пор и применяется при выводе законов квантовой электродинамики.

    И из корпускулярных и из волновых представлений о природе света можно вывести все законы геометрической оптики. Единственным противоречием этих двух подходов является то, что из корпускулярных представлений следует что v>c, а из волновых, наоборот, v<c (c - скорость распространения света в вакууме, v - скорость распространения света в среде). Верным оказался вывод Гюйгенса. Дальше продолжалось интенсивное изучение свойств света:

- в 1663 г. Гримальди впервые наблюдает явления дифракции и интерференции света;

- чуть позже Гюйгенс открывает поляризацию света, но не может её объяснить;

- в 1717 г. Ньютон показывает, что поляризация света может быть объяснена при предположении поперечности световых волн, хотя это противоречило волновой теории, так как считалось невозможным распространение упругой деформации поперечного сдвига;

- в 1756 г. Ломоносов вводит представление о "зыблющемся" или колебательном движении частиц эфира;

- Эйлер пишет формулу v = l/T = l×n и объясняет различием в частоте колебаний эфира различные цвета тел.

    Борьба между сторонниками волновой и корпускулярной природе света доходила до курьёзов. Так, в 1818 г. сторонники корпускулярной теории выдвигают на конкурс Парижской Академии вопрос о дифракции света. Однако, премию получает Френель, давший объяснение дифракции, исходя из волновой теории. Он же доказывает возможность распространения поперечных колебаний, и в результате все явления поляризации были объяснены с волновой точки зрения.

    То есть, наука о свете, в том числе - есть борьба идей.

 

§ 2. Электромагнитная теория света. Возникновение теории квантов.

    Дальнейшее развитие взглядов на природу света связано с именами М.Фарадея, Д.Максвелла, М.Планка, А.Эйнштейна и, наконец, Ричарда Фейнмана.

    В 1846 г. М. Фарадей наблюдал вращение плоскости поляризации света в телах, помещённых в магнитное поле, что указывало на сходство оптических и электрических явлений. Он же ввёл представление об электрических и магнитных полях, как о натяжениях эфира. Так в физике появилось понятие "электромагнитный эфир". Распространение электромагнитных полей в этом эфире должно было происходить как волновой процесс. Далее Максвелл в результате своих теоретических исследований пришёл к выводу, что скорость распространения электромагнитных волн в пустоте равна отношению электромагнитной и электростатической единиц тока (СГСЭ и СГСМ), что совпало с экспериментальным значением для скорости света ~300000 км/с. Более того, свет оказался только частью от всех имеющихся электромагнитных волн: радиоволны, инфракрасный свет, ультрафиолет, рентген, гамма - лучи. Согласно электромагнитной теории, созданной Максвеллом, скорость распространения электромагнитных волн в среде равна: . Следовательно, показатель преломления среды, по определению равен: . Однако у теории Максвелла здесь имеется ограничение - он полагал e и m числами постоянными, а на самом деле они зависят от длины волны и правильно писать формулу для n, например, нужно следующим образом: . Кстати, здесь видно, что в споре корпускулярной и волновой теорий света, в данном случае, правы оказались сторонники волновой теории, которые считали скорость распространения света в среде меньшей, чем в вакууме. То есть, при рассмотрении распространения света в среде необходимо учитывать особенности строения вещества и закономерности взаимодействия с ним электромагнитного излучения. Об этом мы поговорим в следующих лекциях.

    Несколько слов об открытиях Макса Планка и Альберта Эйнштейна. Волновая (электромагнитная) теория излучения не смогла объяснить распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела, кроме того, возникли трудности при объяснении закономерностей фотоэффекта. Выход из возникших затруднений нашёл выдающийся физик прошлого столетия - М. Планк. В 1901 г. он показал, что спектр абсолютно чёрного тела может быть объяснён, если предположить, что излучение испускается и поглощается не непрерывно, а порциями ("квантами"). Причём, энергия каждой порции излучения связана с частотой колебаний электромагнитной волны следующим соотношением: e = hn, где h = 6.62×10^-34 дж×с, названная впоследствии постоянной Планка. А. Эйнштейн в 1905 г. объяснил закономерности фотоэффекта, введя представления о световых частицах - "квантах света" или " фотонах ". Масса фотона, согласно Эйнштейну, была равна: m = hn/c². Работы Планка и Эйнштейна привели к революции в физике и к созданию квантовой физики, в том числе к созданию Фейнманом современной теории электромагнетизма - квантовой электродинамики. Таким образом, длительный путь развития науки о свете привёл к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Приведенные выше формулы связывают корпускулярные характеристики излучения - массу, энергию, с волновыми - частотой колебаний, длиной волны.

 

§ 3. Законы геометрической оптики.

    Теперь перейдём к последовательному изложению оптики, как науки. Законы геометрической оптики:

- закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно, доказательством этого закона можно считать наличие тени с резкими краями от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света, однако сейчас известно, что этот закон нарушается, если, например, свет проходит через очень маленькие отверстия;

- закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или нет, разбивая световой поток на отдельные световые пучки, можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо (если, например, свет падает на границу двух прозрачных сред, то падающий луч разделяется на два – отражённый и преломлённый, каждый из которых независим друг от друга);

- закон отражения: отражённый луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела в точке падения и угол падения равен углу отражения (i = i’);

- закон преломления: луч падающий, луч преломлённый и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости, отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная (sin i /sin r = const). Эта постоянная называется показателем преломления и обычно обозначается буквой n.    

         Абсолютным показателем преломления среды называется величина n = sin i /sin r, где угол падения i находится в вакууме, а угол преломления r в преломляющей среде. Или иначе, абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в среде n = c / v. Из уравнений Максвелла следует, что n =

где e и m - электрическая и магнитная проницаемости соответственно. Ещё вводят относительный показатель преломления, который равен отношению абсолютных показателей преломления двух сред n₂₁ = n₂ / n₁.

 

§ 4. Полное внутреннее отражение.

    Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления (оптически менее плотную) n1>n2, например, из стекла в воду или из воды в воздух, то луч во второй среде будет дальше удаляться от нормали и наступит такой момент, когда луч вообще не попадёт во вторую среду. Это означает, что свет претерпел полное внутреннее отражение. В этот момент угол преломления оказывается равным p/2.

    Явление полного внутреннего отражения используется в очень распространённых в настоящее время волоконно-оптических линиях связи (ВОЛС). В результате, луч света, вводимый в волновод, отражаясь от стенок волновода не выходит наружу. Пояснение на рисунке.

 

 

 

§ 5. Тонкая линза.

    Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями, преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов. Материалом для линз служит стекло, кварц, пластмасса. Линзы получаются путём совмещения двух поверхностей – плоской и выпуклой в различных комбинациях. По внешней форме линзы бывают - двояковыпуклые, плосковыпуклые, двояковогнутые, плосковогнутые, выпукло-вогнутые, вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие. Линза является тонкой, если её толщина значительно меньше радиусов поверхностей, её ограничивающих. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. У всякой линзы есть точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь неё, не преломляясь. Для вывода формулы линзы, которая связывает радиусы кривизны R₁ и R₂ поверхностей линзы с расстояниями от линзы до предмета - a, и от линзы до изображения - b, воспользуемся принципом Ферма (1601-1665). Этот принцип ещё называется принципом наименьшего времени (действительный путь распространения света или траектория светового луча есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим путём).

    Рассмотрим два световых луча - луч, соединяющий точки A и B (луч AOB), и луч, проходящий через край линзы (луч ACB), и воспользуемся условием равенства времени прохождения света вдоль AOB и ACB, ибо, если времена не равны, то свет вообще не пойдёт по более длинному пути, а мы знаем, что он идёт. Итак, время прохождения вдоль AOB: 

 

                           (1)

 

где N = n / n₁ - относительный показатель преломления (n и n₁ - соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света вдоль ACB равно:

,                                (2)

Так как t₁ = t₂, то

.    (3)

Рассматриваем параксиальные (приосевые) лучи, то есть лучи, образующие с оптической осью малые углы. Только при использовании параксиальных лучей получается стигматическое изображение, когда все лучи параксиального пучка, исходящего из точки A, пересекают оптическую ось в одной и той же точке B. Поскольку h <<(a + e) и h <<(b + d). Получаем:

. (4)

Аналогично:

 

.                       (5)

Подставив найденные выражения в соотношение равенства времён, получим:

.                      (6)

Для тонкой линзы e << a и d << b, поэтому:

.                              (7)

Учитывая, что ,

и соответственно d = h² /(2 R₁), тогда получим:

.                 (8)

    Выражение (8) представляет собой формулу тонкой линзы. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы считается положительным, вогнутой - отрицательным. Если a = ¥, то есть лучи падают на линзу параллельным пучком, то

.         (9)

Расстояние b = OF = f называется фокусным расстоянием линзы, определяемое по формуле:

.                (10)

Оно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кривизны.

    Если b = ¥, то есть изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи из линзы выходят параллельным пучком. Для 1/a мы получим точно такое же выражение, что и для 1/b. Таким образом, фокусные расстояния линзы равны (слева и справа), хотя радиусы кривизны могут быть разные. Это следует из формулы (10). Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус - это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси. Величина 1/f называется оптической силой линзы. Её единица измерения - диоптрия (дптр). Диоптрия - это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м (1 дптр = 1/м).

.              (11)

    Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с отрицательной - рассеивающими. Плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно её главной оптической оси, называются фокальными плоскостями. Если предмет находится не на главной оптической оси, то лучи пойдут под углом к главной оптической оси и сфокусируются тоже не на главной оптической оси, но фокус будет принадлежать фокальной плоскости. В отличие от собирающей, рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся после преломления воображаемые продолжения лучей падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси.

Из формул (8) и (11) следует:

.                          (12)

Между прочим, для рассеивающей линзы расстояния f и b следует считать отрицательными:  

    Построение изображений предмета в линзах осуществляется с помощью следующих лучей:

- проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;

- идущего параллельно главной оптической оси, который после преломления в линзе проходит через второй фокус;

- луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы, который после преломления выходит параллельно её главной оптической оси.

Примеры построений изображения:

1) Действительное изображение в собирающей линзе

 

 

2) Мнимое изображение в собирающей линзе(лупа)

3) Мнимое изображение в рассеивающей линзе

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ:

1) сферическая аберрация - искажение изображения, связанное с отдалением от оптической оси лучей, приводящая к размытию второго фокуса;

2) кома - возникает в том случае, если светящаяся точка расположена не на оптической оси, что приводит к изображению этой точки с хвостом, напоминающим комету (отсюда и название);

3) дисторсия - погрешность оптической системы также связанная с отклонением от параксиальности, что приводит к различному увеличению различных точек предмета;

4) хроматическая аберрация - связана с зависимостью показателя преломления от длины волны и проявляется при освещении немонохроматическим светом, например, белым;

5) астигматизм - погрешность, обусловленная неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных сечениях, падающего светового пучка.

    Все приведенные погрешности можно исправить, подбирая стёкла различно преломляющие разные длины волн, сочетанием выпуклых и вогнутых линз из материалов, имеющих различные показатели преломления. Одновременное исправление всех перечисленных погрешностей является очень сложной, а иногда и неразрешимой задачей.

§ 6. Глаз как оптическая система. Оптические инструменты, вооружающие глаз

5.1 Глаз.

Глазное яблоко заключено в плотную белую непрозрачную оболочку ww, называемую склерой. Через заднюю стенку склеры проходит глазной нерв и кровеносные сосуды. Передняя часть склеры переходит в прозрачную роговую оболочку, или роговицу h, более выпуклую, чем склера. Толщина склеры от 0.4 до 1.1 мм, роговицы – около 0.5 мм. За роговицей следует передняя глазная камера а, хрусталик l, задняя глазная камера gl. Эти части составляют оптическую систему глаза, дающую оптические изображения предметов. Передняя глазная камера (а) заполнена прозрачной жидкостью, задняя (gl) – прозрачным студенистым веществом или стекловидным телом. Показатели преломления этих сред практически одинаковы и равны 1.336. Показатель преломления роговой оболочки (h) – 1.376. Спереди также располагается радужная оболочка, посередине которой имеется круглое отверстие – зрачок. Зрачок может сужаться и расширяться, в зависимости от освещённости, от 2 до 8 мм.

    Основной линзой глаза является хрусталик, дающий изображение предмета на сетчатке. Показатель преломления хрусталика изменяется (наружный слой имеет n = 1.405, а внутренний слой n = 1.429). Хрусталик может менять свою кривизну и таким образом достигается резкость изображения предметов на сетчатке. В случае нормального глаза оптимальное расстояние до предмета составляет ~25 см. Это расстояние берётся за основу при расчёте оптических приборов. В возрасте до 10 лет можно резко видеть на расстоянии 7-8 см от глаза. К 30 годам это расстояние увеличивается до ~15 см, к 40 до ~25 см. Дальнозоркость устраняется при помощи очков с собирающими линзами, а близорукость с рассеивающими. Сетчатка глаза имеет довольно сложное строение. Основными чувствительными элементами являются нервные клетки, называемые палочки и колбочки. В них свет превращается в электрические импульсы и по волокнам зрительного нерва попадают в мозг. Число колбочек в глазу ~7 миллионов, а палочек ~130 миллионов. Концентрация колбочек увеличивается к центру сетчатки, а палочек больше на периферии. Палочки обладают большей чувствительностью, но не различают цвета! В сумерках работают только палочки и мы перестаём видеть цвет. Колбочки же способны различать цвета! Глазу присущи аберрации обычных оптических систем, однако от геометрических и хроматических аберраций глаз практически избавлен, за счёт переменного показателя преломления хрусталика и сферической формы сетчатки. Кроме того, но это до сих пор недостаточно изучено, коррекция изображения происходит ещё и в мозгу.

    Чувствительность глаза к излучению разных длин волн характеризуется кривой видности. Кривая видности среднего нормального глаза при дневном освещении утверждена Международной осветительной комиссией. Она имеет максимум в жёлто-зелёной части спектра ~555 нм, условно принимаемый за единицу. При 400 нм видность уменьшается в ~2500 раз!, а при 760 нм в ~20000 раз! Вот в каком огромном диапазоне меняется чувствительность глаза.

Можно написать формулу для глаза по аналогии с тонкой линзой. где f - переднее фокусное расстояние хрусталика, a - расстояние до предмета, b - расстояние от хрусталика до сетчатки.  Причём, фокусное расстояние глаза может меняться за счёт изменения кривизны хрусталика, делая резким изображение предметов. Этот процесс называется аккомодацией глаза.

5.2. Лупа.

    Лупа представляет собой короткофокусную собирательную линзу. Предмет помещают между фокусным расстоянием и лупой, в результате чего получают мнимое прямое увеличенное изображение.

Если мнимое изображение предмета будет располагаться на расстоянии 25 см от глаза (расстояние ясного видения), то увеличение, даваемое лупой будет: N = 25/ f, где f - фокусное расстояние лупы (в см). Лупа не может дать увеличение более чем в 30-40 раз.

5.3. Микроскоп.

    Микроскоп, как и лупа, служит для рассматривания близких, но очень мелких предметов, требующих значительного увеличения. Поэтому, в отличие от лупы, микроскоп состоит из двух систем линз - объектива и окуляра, расстояние между которыми можно изменять, варьируя длину тубуса. Рассматриваемый предмет помещают на расстояние, несколько превышающее фокусное расстояние объектива – f. Изменяя длину тубуса, получают действительное изображение предмета, увеличенное в l / f раз. Это линейно увеличенное изображение рассматривают в окуляр, как в лупу. Таким образом, увеличение микроскопа можно записать как: , где l - длина тубуса, f - фокусное расстояние объектива, f_o -фокусное расстояние окуляра. Микроскоп может обеспечить увеличение до 2000-2500 раз. Предел увеличения микроскопа определяется волновыми свойствами света.

 

 

 

5.4. Зрительная труба. Телескоп.

    Зрительная труба (телескоп) применяется для рассматривания деталей удалённого предмета. Она, как и микроскоп состоит из объектива и окуляра. Действительное уменьшенное и перевёрнутое изображение отдалённого предмета, даваемое объективом, рассматривается в окуляр, как в лупу.

 

ТЕМА 2: Интерференция света.

§ 7. Когерентность и монохроматичность световых волн.

    Интерференция света – это первое явление, из тех, что мы будем рассматривать, когда нарушается один из законов геометрической оптики, в данном случае – закон независимости световых пучков.

    Необходимым условием интерференции световых волн является их когерентность, то есть согласованное протекание во времени и пространстве двух и более колебательных (волновых) процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной и той же, строго постоянной частоты. Поскольку ни один реальный источник не даёт строго монохроматического излучения, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, исключая лазеры, всегда некогерентны. Поэтому мы не наблюдаем интерференции света, например, от двух электрических лампочек. Всё дело в том, что в двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. Процесс излучения длится очень короткое время (~10^-8 с). За это время возбуждённый атом возвращается в нормальное (равновесное) состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись снова, атом начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Таким образом, волны испускаемые атомом, а точнее его электронной оболочкой, только в течение ~10^-8 с имеют постоянные амплитуду и фазу колебаний. Вот эта сбрасываемая одномоментно энергия возбуждённого атома, а точнее электрона, в виде электромагнитной световой волны называется волновым цугом.

 

 

 

~ 3 м (~10^-8 с)

Волновой цуг.

    Средняя продолжительность одного цуга называется временем когерентности. За это время волна распространится в вакууме на расстояние l_ког. = c × t = 3×10⁸ м/с × 10^-8 с = 3 м, называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Таким образом, длина когерентности – это расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источника света. Когерентность колебаний, которые совершаются одновременно в одной и той же точке пространства, в течение некоторого времени, называется временной когерентностью. Два источника, которые позволяют наблюдать интерференцию в определённой области пространства, называются пространственно-когерентными. Радиусом когерентности называется максимальное перпендикулярное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Можно записать r_{ког .} ~ l/j, где l - длина волны света, j - угловой размер источника. Так, минимально возможный радиус когерентности для солнечных лучей при угловом размере Солнца на Земле ~10^-2 рад и средней длине видимого света ~0.5 мкм – составляет ~0.5 мкм/10^-2 рад = 50 мкм = 0.05 мм. Трудно наблюдать интерференцию в этих условиях, поскольку разрешающая способность человеческого глаза не более 0.1 мм.

 

§ 8. Интерференция света.

    Предположим, что две монохроматические световые волны (бесконечно протяжённые в пространстве, сохраняющие одинаковые амплитуду и частоту), накладываясь, друг на друга, возбуждают в определённой точке пространства колебания одинакового направления. Под одинаковым направлением будем понимать одинаковое направление электрических векторов электромагнитной волны. Векторы E и H колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Уравнения двух волн запишем в виде: x₁ = A₁cos(wt+j₁) и              Þ                 x₂ = A₂cos(wt+j₂). Под x_i будем понимать напряжённость электрического поля электромагнитной волны. Сложим эти волны, тогда получим: x = x₁ + x₂ = A₁cos(wt+j₁) + A₂cos(wt+j₂). Сначала упростим задачу – пусть A₁ = A₂ = A, тогда                         Þ                                                  x = A[cos(wt+j₁) + cos(wt+j₂)]. Из тригонометрии известно, что cosa+cosb = 2cos[(a+b)/2]×cos[(a-b)/2]. И поэтому,                              Þ                                                 x = 2Acos[(wt+wt+j₁+j₂)/2]×cos[(j₁-j₂)/2] =                    Þ                                 = 2Acos[wt+(j₁+j₂)/2]×cos[(j₁-j₂)/2. Если иметь в виду, что                x =A_rcos(wt+j_r), то A_r = 2Acos[(j₁-j₂)/2], а j_r = (j₁+j₂).

    Теперь найдём, чему равна интенсивность суммарной световой волны, учитывая, что I ~ A². Будем искать интенсивность в общем виде, когда A₁ ¹ A₂. Для вывода представим выражение для волны                    x = Acos(wt+j) в комплексном виде, причём учитывать будем только действительную часть, поскольку x является действительным числом. Запишем x = A₁e^i(wt+j1) + A₂e^i(wt+j2) = (A₁e^ij1 + A₂e^ij2)e^iwt, или              A₁e^ij1 + A₂e^ij2 = A_re^ijr. Чтобы найти квадрат амплитуды, умножим и левую и правую часть предыдущего выражения на комплексно сопряжённые величины. A_re^ijr×A_re^-ijr = (A₁e^ij1 + A₂e^ij2)×(A₁e^-ij1 + A₂e^-ij2). Или A_r² = A₁² + A₂² + A₁A₂[e^i(j1-j2) + e^i(j2-j1)]. Но поскольку                      e^iq + e^-iq = cosq + i sinq +cosq - i sinq = 2cosq, то в нашем случае      A_r² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(j₂-j₁) – это и есть квадрат амплитуды результирующего колебания или интенсивность. Это выражение можно записать иначе: I = I₁ + I₂ + 2 cos (j₂-j₁). Так как волны когерентны, то cos (j₂-j₁) имеет постоянное значение во времени, но своё в каждой точке пространства. В тех точках, где cos(j₂-j₁) > 0, интенсивность I > (I₁+I₂), а где cos(j₂-j₁) < 0, I < (I₁+I₂). Видно, что при наложении двух или нескольких когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление и называется интерференцией света.

    Для некогерентных волн разность j₂-j₁ непрерывно меняется, поэтому среднее во времени значение cos(j₂-j₁) = 0, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и равна – (I₁ + I₂). При            I₁ = I₂ = Io, интенсивность результирующей волны равна 2Io.

    Для когерентных волн при cos(j₂-j₁) = 1 (максимум), I_r = 4Io, а при cos(j2-j1) = -1 (минимум), I_r = 0.

    Каким же образом можно создать условия для возникновения, а следовательно и наблюдения, интерференции? Такие условия возникают, если свет, излучаемый одним источником, разделяют на две части, которые после прохождения своих оптических путей накладываются друг на друга. При этом наблюдается интерференционная картина.

    Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определённой точке О. От точки О свет распространяется по двум различным путям. Пусть до точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна прошла путь s₁ в среде с показателем преломления n₁, а вторая прошла путь s₂ в среде с показателем преломления n₂. Тогда, если в точке О фаза колебаний равна wt, то в точке М у одной из волн фаза будет - w (t – s₁ / v₁), а у второй волны - w (t – s₂ / v₂). Соответственно, сами волны будет иметь вид: A₁ cos w (t – s₁ / v₁) и A₂ cos w (t – s₂ / v₂), где v₁ = c / n₁ и v₂ = c / n₂ – фазовые скорости первой и второй волн в различных средах. Разность фаз колебаний, возбуждаемых данными волнами в точке М, будет равна: d = [ w (t – s₁ / v₁) - w (t – s₂ / v₂)] = w (s₂ / v₂ – s₁ / v₁). Если учесть, что w/c = (2p/T):(l_o/T), а v_i = c/n_i, то d = 2p/ l_o (s₂n₂ – s₁n₁) = 2p/ l_o (L₂ – L₁) = = 2 p/l_oD (l_o – длина волны в вакууме).

    Произведение геометрической длины пути световой волны в данной среде на показатель преломления этой среды (L_i = s_in_i) называется оптической длиной пути, а D = s₂n₂ – s₁n₁ = L₂ – L₁ (разность длин оптических путей) – называется оптической разностью хода. Понятно, что если всё происходит в вакууме (или в воздухе), то n_i = 1 и, тогда D = s₂ – s₁.

    Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн -     D = ± ml (m = 0,1,2,3,…), то разность фаз d = (2p/l)×D = (2p/l)ml = 2pm, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Это условие интерференционного максимума. Если оптическая разность хода равна целому числу длин полуволн - D = ±(2 m + 1)×(l /2) (m = 0,1,2,3,…), то разность фаз d = ±(2 m +1) p, и колебания, возбуждаемые в точке М, будут происходить в противофазе. Это условие интерференционного минимума.

   Для наблюдения интерференции света существует целый ряд методов. Вот некоторые из них:

1) Метод Юнга. Источником света служит ярко освещённая щель S, от которой световая волна падает на две другие узкие щели S₁ и S₂, параллельные щели S. Таким образом, щели S₁ и S₂ играют роль когерентных источников. Интерференционная картина наблюдается на экране BC, расположенном параллельно S₁ и S₂ (это параллельные полосы).

									B
					S1
	S
					S2
									C

 

 

2) Зеркала Френеля. Свет от источника S падает расходящимся пучком на два плоских зеркала А₁О и А₂О, расположенных относительно друг друга под углом близким к 180°. Отразившись от зеркал, свет попадает на экран AB. Поскольку будет возникать разность хода при распространении света от этих зеркал, то на экране будет наблюдаться интерференционная картина.

			A
			B

 

 

РАСЧЁТ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ОТ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЩЕЛЕЙ.

    Пусть щели S₁ и S₂ находятся друг от друга на расстоянии d и являются когерентными источниками. Интерференцию будем наблюдать на экране, расположенном на расстоянии l от щелей (l > d). Начало отсчёта выберем в точке О, симметрично расположенной относительно щелей. Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии x от О, определяется оптической разностью хода              D = s₂ – s₁. Из рисунка видно, что s₂² = l² + (x + d /2)²; s₁² = l² + (x – d /2)², откуда s₂² – s₁² = 2xd или D = s₂ – s₁ = 2xd /(s₁ + s₂). Из условия l >>d следует, что s₁ + s₂» 2 l, поэтому D = xd / l. Подставив найденное

 

 

значение D в условия для максимумов и минимумов интенсивности света получим, что x_max = ± m  (m = 0,1,2,3,…), а x_min = ±(m + ½)  (m = 0,1,2,3,…). Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), называемое шириной интерференционной полосы, равно Dx = (l / d) l. Видно, что Dx не зависит от порядка интерференции, то есть, от величины m. Ширина интерференционной полосы обратно пропорциональна расстоянию между щелями, прямо пропорциональна длине волны света и прямо пропорциональна расстоянию от щелей до экрана. При большом расстоянии между щелями, например, d» l, отдельные полосы становятся вообще неразличимы. Для видимого света, когда l» 10^-7 м = 0.0001 мм = Dx, глазне различитполосы, поскольку разрешающая способность глаза не более 0.1 мм).

    Таким образом, интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света (в виде узких щелей), представляет собой чередование светлых и тёмных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку О. Вверх и вниз от него на равных расстояниях располагаются максимумы и минимумы первого, второго, третьего и т.д. порядков.

    Кольца Ньютона. Кольца Ньютона наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластиной и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис.5). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней, а частично от нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении друг на друга они дают интерференционную картину в виде концентрических кругов

Рис.5. Оптическая схема получения колец Ньютона.

одинаковой толщины. Оптическая разность хода (с учётом потери полуволны при отражении): D = s₂n₂ - s₁n₁ = s₂ - s₁ = 2 d + l_o /2, где d - ширина зазора, показатель преломления воздуха n = 1, а i = 0. Поскольку R ² = (R - d)² + r ², где R - радиус кривизны, r - радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d и, учитывая, что d мало и d ² ~ 0, получим d = r ²/(2 R). Следовательно, D = r ²/ R + l_o /2. Приравнивая, полученное выражение D к условиям для максимума и минимума, получим выражения для радиусов m -го светлого и для m -го тёмного кольца, соответственно:

r_m =   - светлое (m = 1,2,3,…); r_m =  - тёмное (m = 1,2,3,…).   

         Явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные закономерности зависят от длины волны l_о.

 

§ 9. Интерферометры. Практическое применение интерференции.   

1. Интерферометр Майкельсона

M1

Подвижное зеркало

    Интерферометр данного типа был изобретён американским физиком Альбертом Майкельсоном и имеет следующую оптическую

 схему:

			Неподвижное зеркало

 

	Источник света				2
							M2

C

 

Рис.6. Схема интерферометра Майкельсона

    Монохроматический свет падает на полупрозрачное зеркало M_s. Половина интенсивности светового пучка направляется к неподвижному зеркалу M₂ и отражается обратно. Другая половина интенсивности отражается от зеркала M_s, падает на подвижное зеркало M₁ (которое может перемещаться вверх-вниз) и отражается от него. Отражённый пучок 1 проходит через M_s и попадает в глаз наблюдателя. Часть пучка 2 отражается от зеркала M_s и также попадает в глаз наблюдателя. Обычно на пути пучка 2 помещают компенсатор C в виде пластины из прозрачного стекла (его изготавливают из той же стеклянной пластины, что и зеркало M_s), чтобы оба пучка проходили с точностью до долей длины волны слой стекла одинаковой толщины. Если оба пути одинаковы, то будет происходить усиление интенсивности света, и наблюдатель увидит свет. Если же подвижное зеркало M₁ отодвинуть на расстояние l/4, то пучок 1 будет проходить дополнительное расстояние, равное l/2 (расстояние l/4 он пройдёт туда и обратно), и будет происходить ослабление интенсивности - в этом случае наблюдатель увидит темноту. Если зеркало M₁ продолжать перемещать в том же направлении, то вновь появится свет, потом темнота и т.д.

    Интерферометр Майкельсона позволяет проводить очень точные измерения длин волн. Действительно, при перемещении зеркала M₁ всего лишь на l/4  происходит ясно различимый переход от освещённости к затемнению. Для l = 400 нм это соответствует точности в 100 нм, или 0.1 мкм. Ещё большей точности можно достичь, наблюдая чередование полос в случае непараллельных зеркал.       

2. Микроинтерферометр Линника

         Для контроля за чистотой обработки металлических поверхностей высокого класса В.П. Линник разработал микроинтерферометр, представляющий комбинацию интерферометра Майкельсона и микроскопа. Свет от источника S падает на разделяющий кубик, склеенный из двух призмочек. Гипотенузная грань одной из призмочек посеребрена так, что частично пропускает, а частично отражает падающие на неё лучи света. Прошедший пучок попадает на зеркало Z, отражается обратно к кубику и, отразившись от полупрозрачной грани, идёт в микроскоп M. Второй луч, отразившись от полупрозрачной грани, падает на исследуемую поверхность и, отразившись от последней, проходит через кубик в микроскоп M, интерферируя с первым лучом. Зеркало Z наклонено под небольшим углом относительно грани кубика так, что разность хода обоих лучей вдоль поля зрения микроскопа линейно возрастает. Благодаря этому при идеальной гладкости испытуемой поверхности в поле зрения микроскопа будут видны светлые и тёмные интерференционные полосы равной толщины. Если же на испытуемой поверхности есть неровности, то в этих местах изменяется ход второго луча и интерференционные полосы соответственно сдвигаются, как показано на рисунке. Данный метод позволяет оценить чистоту обработки поверхности с точностью до 0.1 l или ~0.05 мкм.

 

Рис.7.Оптическая схема микроинтерферометра Линника

  

    Итак, практические применения интерференции связаны:

- с измерением длины волны монохроматического светового пучка (например, с помощью интерферометра Майкельсона выразили эталонный метр через длину волны, излучаемую атомом криптона-86);

- при помощи микроинтерферометра Линника можно контролировать чистоту обработки металлических и других гладких поверхностей;

- "просветление оптики" в фотообъективах. 

Тема 3: Дифракция света

§ 10. Дифракция света. Виды дифракции.

    Под дифракцией понимают огибание волнами препятствий, в том числе и электромагнитными. Это ещё одно явление, которое противоречит законам геометрической оптики, а именно закону прямолинейного распространения света. То есть, свет имеет более сложное поведение, чем его описание, даваемое геометрической оптикой.

    Рассмотрим дифракцию монохроматического света на одной щели. Предположим, что параллельные лучи света падают на щель шириной d. Если экран расположен бесконечно далеко от щели или за щелью находится линза, направляющая на экран пучок параллельных лучей, то наблюдается дифракция Фраунгофера. Если экран расположен вблизи щели, а линзы для фокусировки лучей не используются, то будем наблюдать дифракцию Френеля.

1. Дифракция Фраунгофера на одной щели (дифракция в параллельных лучах).

А) Лучи света, попадающие на удалённый экран будут практически параллельными. Рассмотрим сначала свет, падающий по нормали к плоскости щели. Все лучи находятся в одной и той же фазе, поэтому в центре экрана возникает светлое пятно. Если q = 0, то светлое пятно.

 

   B) Теперь рассмотрим лучи, идущие под углом q ¹ 0, таким, что луч из верхнего края щели проходит ровно на одну длину волны больше, чем луч от нижнего края. Соответственно, луч от центра щели проходит путь, который на половину длины волны больше пути луча от нижнего края щели. Эти лучи оказываются в противофазе и, интерферируя гасят друг друга. Аналогично луч из точки щели, расположенной чуть выше нижнего края щели, гасит луч из точки, расположенной на таком же расстоянии над центром щели. Таким образом, каждый луч из нижней половины щели гасит соответствующий луч, проходящий через её верхнюю половину. Интерферируя попарно, все лучи гасят друг друга; поэтому на экране под данным углом света не будет. Угол q, при котором происходит гашение света, удовлетворяет соотношению: l = D ×sin q, откуда          sin q = l / D (первый минимум).

    Вообще, надо сказать, дифракция и интерференция проявляются одновременно и разделить эти явления просто невозможно.   

    Итак, интенсивность света максимальна при q = 0° и убывает до минимума (с интенсивностью равной нулю) при угле q = arcsin (l/D).

     C) Теперь рассмотрим ситуацию, когда свет падает под большим углом q, причём таким, что луч из верхнего края щели проходит путь на 3/2l больше, чем луч из нижнего края щели. В этом случае лучи из нижней трети щели, попарно интерферируют и гасят лучи из средней трети, так как в каждой паре лучи оказываются в противофазе. Но свет из верхней трети щели достигает экрана, поскольку для этих лучей не оказывается гасящих, и под данным углом q на экране возникает снова светлое пятно, но не столь яркое, как центральное пятно (q = 0°). И так далее, при росте угла q на экране будут появляться то светлая, то тёмная полоса. Причём, условие минимума (темноты) будет: sin q =  (m = 1,2,3,..). При m = 0 возникает наибольший (центральный) максимум. Таким образом, при дифракции Фраунгофера на одной щели максимумы света на экране будут при углах q = 0°, arcsin(3/2 l/D), arcsin(5/2 l/D), и т.д., а минимумы: при q = arcsin(l/D), arcsin(2 l/D), arcsin(3 l/D), и т.д. 

Пример: Свет с длиной волны 750 нм проходит через щель шириной 1.0×10^-3 мм. Какова ширина центрального максимума a) в градусах и b) в сантиметрах на экране, находящемся на расстоянии 20 см от щели?

Решение: a) Первый минимум расположен при sinq = l/D =                = 7.5×10-7 /1×10-6 = 0.75, т.е. q =49°. Это угол между центральным максимумом и первым минимумом. Угол, под которым виден весь центральный максимум (от первого минимума сверху до первого минимума снизу) составляет 98°.b) Ширина центрального максимума равна 2x, где tgq = x/20; поэтому 2x = 2×20(см)×tg49° = 46 (см). Чем меньше будет размер щели (D) тем сильнее будет центральный максимум.

2. Дифракция Фраунгофера на двух щелях (дифракция в параллельных лучах).

         По сути дела, две щели могут быть получены путём перемещения одной щели параллельно самой себе. При этом никаких изменений в дифракционной картине вроде бы не должно наблюдаться, по сравнению с дифракцией на одной щели, поскольку главным и определяющим дифракционную картину является разност