Основные понятия и определения

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

«Московский педагогический государственный университет»

Математический факультет

кафедра Алгебры.

РЕФЕРАТ

По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».

Выполнила:

Студентка

Группы 6 курса

Браницкая Нина Анатольевна

Научный руководитель:

Ширшова Елена Евгеньевна.

Москва, 2010

Содержание:

Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4

Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 3

a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4

b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4

2. Множество квадратных матриц  над полем 5

3. Тело кватернионов К над полем 5

a. Основные свойства.......................................................................................................... 6

4. Алгебра Грассмана над полем 9

a. Следствия..................................................................................................... 10

5. Список литературы............................................................................................................ 11

Основные понятия и определения.

Определение: Пусть F – поле, V - некоторое множество, на котором заданы следующие операции:

1. операция сложения:

2. операция умножения:

Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия:

 - абелева группа;

Элементы множества V называются векторами, а элементы поля F – скалярами.

Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй, если выполняются следующие условия:

Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам  сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:

.

Определение: Алгебра  называется ассоциативной, если .

Определение: Алгебра  называется коммутативной, если .

Определение: Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей, а элемент - единицей алгебры.