2020-01-14
94
Таблица векторного произведения векторов 
Пусть заданы два вектора 
и 
, такие, что 
, 
Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: 
.
Проверим, является ли векторное пространство 
линейной алгеброй.
Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра.
Проверим, является ли ассоциативной алгеброй.
Следовательно, не является ассоциативной алгеброй.
Проверим, является ли коммутативной алгеброй.
, такие образом, 
.
Следовательно, не является коммутативной алгеброй.
Замечание: является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.
2. Множество квадратных матриц 
над полем 
, в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц 
.
Замечание: 
является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей 
.
3. Тело кватернионов К над полем . Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.
,
где 
- мнимые единицы со следующей таблицей умножения:
Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:
Определение: Кватернион 
называется сопряженным к 
.
Определение: 
называется модулем кватерниона 
.
Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.
Рассмотрим базис: 
Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:
Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:
,
здесь 
- комплексно-сопряженные числа к 
.
Основные свойства.
1. комплексному числу соответствует диагональная матрица;
2. сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица 
.
3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы 
.
Докажем это свойство: 
Следовательно, .
Проверим, является ли 
алгеброй.
1. - векторное пространство?
а). - абелева группа?
1). 
2). 
3). 
4). 
Из 1) - 4) следует, что - абелева группа.
б). 
в). 
г). 
д). 
Из а) - д) следует, что 
- векторное пространство.
2. 
Аналогично проверяется, что 
3. 
Аналогично проверяется, что 
.
Из 1-3 следует, что 
- алгебра над полем 
.
Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем 
.
4. Алгебра Грассмана над полем .
Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов 
, обладающих свойствами:
(a) *свойство антикоммутативности* 
(1)
(b) любое другое соотношение между образующими элементами 
является следствием соотношения (1), в частности 
Обозначение: 
- алгебра Грассмана с 
образующими элементами.
Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.
Начнем с алгебры 
. В этом случае имеется только один образующий элемент 
, причем 
, и, поэтому 
. Следовательно, произвольный элемент алгебры есть 
.
Рассмотрим алгебру 
, содержащую два образующих элемента 
, причем 
. Путем их перемножения можно построить еще один элемент 
. Таким образом, произвольный элемент алгебры 
выглядит так: 
.
Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем образующих элементов 
. Перемножая эти элементы получим мономы 
, где индексы 
принимают значения 
.
Заметим теперь, что любой моном 
, где 
, всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов 
встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение 
.В результате, мы получаем следующие независимые мономы: 
. Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид:
(2)
где 
. По повторяющимся индексам 
подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом.
Следствия.
1. Любой моном, содержащий ровно сомножителей, равен с точностью до знака произведению 
.
2. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента 
некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами 
Подсчитаем число базисных элементов.
Число образующих равно , число мономов 
- числу сочетаний из 
элементов по 2, то есть 
, число мономов 
- числу сочетаний из элементов по 3, то есть 
, и так далее.
В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет 
Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности 
.
Список литературы.
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.
3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.
