1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома (черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?
Решение. Пусть ширина участка x м, аплощадь у м2, тогда:
y = (60-2x)x = 60x - 2х2
Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0<x<30.
Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:
y' = 60 - 4x.
y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.
Если ширина х = | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
то площадь y = | 0 | 250 | 400 | 450 | 400 | 250 | 0 |
Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.
Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x = 60 -- 30=30 (м)
2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?
|
|
Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:
Y=2(x+36/x)=2x+72/x.
Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:
0<x<+∞
Определим промежутки ее возрастания и убывания:
y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.
Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке
0<x<6 y'<0, а в промежутке 6<x<+∞ y'>0.
Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+∞. График (черт.) построим по таблице:
Если х = | →0 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | →∞ |
То у = | →∞ | 30 | 26 | 24,4 | 24 | 24,3 | 25 | →∞ |
Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.