Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x— 2х² (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х³— — х² — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х³, y = ctgx, y = a^x не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с₁М₁ и с₃М₂, а в точке с₀ значение, меньшее минимума c₂m₁, и c₄m₂, минимум c₄m₂ больше максимума с₁М₁. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.