Правило нахождения экстремума

 

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

 

 

Нахождение экстремума при помощи второй производной

 

1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.

lim (∆y/∆x)>0. ∆x→0

Доказательство от противного. Пусть для определенности f '(c)>0, т. е.

 

 

Предположим, что при стремлении ∆x к нулю приращения ∆y и ∆x имеют разные знаки. Тогда отношение ∆y/∆x отрицательно и его предел

f '(c) ≤ 0,

что противоречит условию.

Так же доказывается и вторая часть леммы.

2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f '(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум;

если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х = с функция f(x) имеет максимум.

f ’’(c) = lim ((f’(c + ∆x)-f ’(c))/∆x)>0. ∆x→0

Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.

 

 

Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2δ точки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

f '(c — ∆x)—f(c)<0,       (0 < ∆x < δ).

Отсюда:

f '(c-∆x)<f '(c) = 0.                                            (1).

Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.

f '(c +∆x)-f '(c)>0.

Отсюда:

f '(c + ∆x)>f '(c) = 0.                                       (2)

Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.

Так же доказывается теорема и в случае f "(с)<0.

3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:

 

Если знак числа f "(с),	то при х = с f(x) имеет
плюс минус	минимум                    максимум

 

Если f '(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.

4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию: у = 5 — х² — х³ — x⁴/4.

Решение. 1. Находим первую производную:

y ' = - 2х - Зx² — x³

2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:

— 2x — Зx² — x³ = 0, или x(x²+3х+2) = 0,

отсюда x = 0 или x² + 3х + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение x² + 3х + 2 = 0, получаем:

x = (-3 ⁺ 1)/2.

Стационарных точек три: x₁ = — 2, x₂ = — 1 и х₃ = 0.

3. Находим вторую производную:

у" = — 2 - бx — Зx².

4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем во второй и потом в третьей стационарной

точке:

при х = — 2 у'' = — 2 — 6(— 2) — 3(— 2)² = — 2, при х = — 1 у" = — 2 — 6(— 1) — 3(— l)² = + 1, при x = 0 у" = — 2.

Следовательно, данная функция имеет минимум при х = —1 и максимум при х = — 2 и при х =0,

Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х⁴.

Решение: 1) y' = 4x³;

2) 4х³ = 0; х = 0;

3) y" = 12x²;

4) при х = 0 y" = 0.

Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем первым способом: при х < 0 у' = 4x³ < 0, а при х > 0 у' = 4x³ > 0. Следовательно, функция у = х⁴ имеет минимум в точке x = 0.

5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к цели.