2020-01-14
615
Решим такую задачу: «Даны семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько можно провести прямых, которым принадлежат две данные точки?».
Решение. По условию задачи никакие три точки не лежат на одной прямой. По аксиоме прямой через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Проведем прямую через какую-нибудь из данных точек и каждую из шести остальных. Таких прямых будет шесть. Если выполнить такое построение для каждой точки, то получим 7 · 6 = 42 прямые, но одна и та же прямая считалась здесь дважды, поэтому на самом деле число всех прямых будет (7· 6):2 = 21.
По поводу решенной задачи можно сказать следующее. Для семи данных точек еще возможно начертить и пересчитать прямые. Но если точек, удовлетворяющих условиям, будет 100, то провести прямые и сосчитать их число окажется практически невозможным. Лишь рассуждения, основанные на аксиомах и других верных утверждениях, приведут нас к правильному ответу.
Смысл изучения геометрии состоит не в том, чтобы обнаружить верность утверждений, исходя из восприятия наглядных образов, а в том, чтобы ответить на вопрос: возможно ли, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы, установить истинность новых утверждений.
|
|
|
Занятие 12. Танграм
Цель: познакомить учащихся с китайской головоломкой «Танграм». Попрактиковаться в геометрическом исследовании, конструировании. Развивать комбинаторные навыки.
Говоря о задачах на разрезание, нельзя не упомянуть о древней китайской головоломке «Танграм», возникшей 4 тыс. лет назад. В Китае ее называют «чи тао ту», то есть «умственная головоломка из семи частей».
Рис.1
Методические рекомендации. Для проведения этого урока желательно иметь раздаточный материал: головоломку (которую могут изготовить сами школьники), рисунки фигур, которые нужно будет сложить. Разрезав квадрат так, как показано на рисунке, и соблюдая два правила: 1) при складывании фигурок использовать все 7 частей-«танов»; 2) «таны» нельзя накладывать друг на друга (они могут только касаться друг друга) можно сложить немало занимательных фигурок.
1. Изготовьте головоломку сами: переведите на плотную бумагу квадрат, разделенный на семь частей (рис.1), и разрежьте его.
2. Используя все семь частей головоломки, составьте фигурки, изображенные на рис.
Рис. 2
Методические рекомендации. Детям можно раздать рисунки фигур (рис. 2) в натуральную величину. Поэтому школьник может решать задачу, накладывая части головоломок на рисунок фигуры, таким образом подбирая нужные части, что упрощает задачу.
3. На рис.3 также даны фигурки для самостоятельного составления. Попробуйте придумать свою фигурку, используя все семь частей танграма.
|
|
|
4. В танграме среди его семи частей уже есть треугольники разных размеров. Но из его частей можно и еще сложить различные треугольники. Сложите треугольник, используя четыре части танграма:
а) один большой треугольник, два маленьких треугольника и квадрат;
б) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм;
в) один большой треугольник, один средний треугольник и два маленьких
треугольника.
Рис.3
Чтобы сложить фигурку, нужно быть внимательным и проявить и настойчивость, аккуратность и терпение. Предлагаемые фигуры-задачи можно объединить по темам и сюжетам. Этого количества задач достаточно, чтобы сформировать у учащихся устойчивые навыки решения задач на разбиение и складывание.
Животные Африки 
Занятие 21. Не отрывая карандаша…
Цель: научить учащихся определять, изображать и составлять геометрические фигуры,
которые можно вычерчивать без отрыва карандаша от бумаги;
сформулировать признаки вычерчивания фигур одним росчерком;
привлечь учащихся к различным видам деятельности: наблюдению, иследованию,
умению делать выводы.
Ход урока.
I. Вступительное слово учителя:
– Многие люди ставят свою подпись непрерывной линией, причем для каждого человека она специфична. Есть ли среди вас такие? (Покажите образец своей подписи).
1. Из истории известно, что Магомет (Мухаммед – основатель мусульманской религии) вместо подписи описывал одним росчерком знак, состоящий из двух рогов луны: Я надеюсь, что в конце нашего урока вы тоже сможете это сделать.
2. Приведите примеры геометрических фигур и букв нашего алфавита, которые можно изобразить, не отрывая карандаша (круг, квадрат, треугольник; Г, Л, М, П, С). Изобразите треугольник. Для решения таких задач существуют признаки, по которым можно проверить, можно ли эту фигуру построить, не отрывая карандаша от бумаги. Если можно, то с какой точки это вычерчивание надо начинать?
В математике есть раздел, который изучает свойства таких фигур (найдите ответ, разгадав ключевое слово кроссворда).
Я надеюсь, что в конце нашего урока вы тоже сможете это сделать.
2. Приведите примеры геометрических фигур и букв нашего алфавита, которые можно изобразить, не отрывая карандаша (круг, квадрат, треугольник; Г, Л, М, П, С). Изобразите треугольник. Для решения таких задач существуют признаки, по которым можно проверить, можно ли эту фигуру построить, не отрывая карандаша от бумаги. Если можно, то с какой точки это вычерчивание надо начинать?
В математике есть раздел, который изучает свойства таких фигур (найдите ответ, разгадав ключевое слово кроссворда).
Я надеюсь, что в конце нашего урока вы тоже сможете это сделать.
2. Приведите примеры геометрических фигур и букв нашего алфавита, которые можно изобразить, не отрывая карандаша (круг, квадрат, треугольник; Г, Л, М, П, С). Изобразите треугольник. Для решения таких задач существуют признаки, по которым можно проверить, можно ли эту фигуру построить, не отрывая карандаша от бумаги. Если можно, то с какой точки это вычерчивание надо начинать?
В математике есть раздел, который изучает свойства таких фигур (найдите ответ, разгадав ключевое слово кроссворда).
1.Часть прямой (отрезок).
2. Фигура, состоящая из двух одинаковых квадратов (домино).
3. Сумма длин всех сторон треугольника (периметр).
4. Прибор для измерения углов (т ранспортир).
5. Углы 1 и 2 _______ (вертикальные).
6. Окончанием данных слов служит математический термин из 5 букв.
|
|
|
ЛАС
ФОР (…..) (точка).
ЛЕН
7. Единица измерения углов (градус).
8. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (медиана).
9. Автор учебника «Геометрия 7-9 класс» (Атанасян).
Топология – одна из математических наук, возникшая во второй половине 19 в. Она изучает свойства геометрических фигур, которые можно изобразить непрерывной линией. Современная топология имеет применение в других разделах мате-матики (комбинаторика, графы), в физике (электротехника), в теории жидких кристаллов, в молекулярной биологии. 1234 5 678 9 1 2
Топология – раздел математики, изучающий такие свойства фигур, которые не меняются при деформации фигур, производимой без разрывов и склеивания.
Например, с точки зрения топологии, круг, эллипс, квадрат и треугольник об-ладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой, так как мож-но трансформировать одну в другую. А вот кольцо к подобным не относится: чтобы превратить его в круг, необходима склейка.
3. а) Договоримся называть точку, в которой сходится четное число линий, словом «четная», а точку, в которой сходится нечетное число линий, – «нечетная».
А С (ч)
(ч)
В(ч) D (ч)
Вывод: если в фигуре нет нечетных точек, то ее можно начертить, не отрывая карандаша.
б) На доске изображены два конверта, один открытый, другой закрытый.
E
M(н/ч) N(н/ч)
B C
A D P(н/ч) K(н/ч)
Задание: перерисовать в тетрадь конверты и обрисовать их другим цветом, придерживаясь правила, – не отрывать карандаш от бумаги и не проходить им два-жды ни по одной линии.
А-В-E-C-D-B-C-A-D
Если нечетных точек не более двух, то можно начертить фигуру, причем на-чать надо в одной из нечетных точек и закончить в другой (если фигура имеет одну нечетную точку, то имеет и вторую).
4. На рисунке изображены окружности, в которых проведены линии. Устано-вите, какие фигуры можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, а какие нет.
а) б) в)
г) д) е)
Можно: а, в, г, д; нельзя: б, е.
5. Установите, какие фигуры тоже так можно нарисовать, а какие нет.
а) б) в)
да нет
