2020-01-14
93
В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.
Теорема 1. Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f(x) £ b, то
a× mE £ 
£ b× mE.
Это теорема обычно называется теоремой о среднем.
Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим
A = a - 
, B = b + ,
то окажется, что
A < f(x) < B,
и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].
Но если A £ yk £ B, то, очевидно,
A 
£ 
£ B
или, что то же самое,
A× mE £ s £ B× mE,
откуда и в пределе
mE £ 
£ 
mE.
В силу произвольности числа n, теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.
Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то
= c× mE.
Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.
Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет
= 0.
Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств
E = 
(Ek 
= 0, k ¹ k’),
то
= 
Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.
Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум
Е = 
+ 
( = 0).
Если на множестве Е
A < f(x) < B
и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, y1,¼, уn, составим множества
ek = E(yk £ f < yk+1),
ek’= E’(yk £ f < yk+1),
ek’’= E’’(yk £ f < yk+1),
то, очевидно, будем иметь
ek = ek’ + ek’’ (ek’ek’’ = 0),
откуда
= 
+ 
н в пределе, при l ® 0,
= 
+ 
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.
Остается рассмотреть случай, когда
E = 
.
В этом случае
= mE,
так что при n ® ¥ будет
® 0. (*)
Заметив это, положим
= Rn.
Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то
= 
+ 
.
В силу теоремы о среднем
A× mRn £ 
£ B× mRn,
а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что
® 0.
Но это и означает, что
= 
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то
= 
.
Действительно, если
А = Е(f ¹ g), B = E(f = g),
то mA = 0 и
= 
= 0.
На множестве же В обе функции тождественны и
= 
.
Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.
Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на сегменте [-1, +1], так:
1 при x ³ 0,
f(x) =
-1 при x < 0,
то
= 
+ 
= -1 + 1 = 0,
хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.
Однако справедливо
Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю
(f(x) ³ 0),
то эта функция эквивалентна нулю.
В самом деле, легко видеть, что
E(f>0) = 
.
Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что
mE 
= s > 0.
Полагая
A = E 
, B = B - A,
мы имели бы, что
³ 
s, 
³ 0,
и, складывая эти неравенства, мы получили бы
³ s,
что противоречит условию.
Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и F(x), то
= 
+ 
.
Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
= c .
Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то
= 
- .
Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если
f(x) £ F(x),
то
£ .
Действительно, функция F(x)—f(x) не отрицательна, так что
- = 
³ 0.
Теорема 6. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то
£ 
