Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть
x0 Î [a, b] и d > 0. Обозначим через md(x0) и Мd(х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) наинтервале (х0 - d, x0 + d)
md(x0) = inf{f(x)}, Md(x0) = sup{f(x)} (х0 - d < x < x0 + d).
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала
(х0 - d, x0 + d), которые лежат также и на сегменте [а, b].)
Очевидно,
md(x0) £ f(x0) £ Md(x0).
Если d уменьшается, то md(x0) не убывает, a Md(x0) не возрастает. Поэтому существуют определенные пределы
m(x0) = md(x0), Md(x0) = Md(x0),
причем, очевидно,
md(x0) £ m(x0) £ f(x0) £ M(x0) £ Md(x0).
Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было
m(x0) = M(x0). (*)
Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только
|
|
< d,
так сейчас же
< e.
Иначе говоря, для всех х Î (х0 - d, x0 + d) будет
f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e.
Но отсюда следует, что
f(x0) - e £ md(x0) £ Md(x0) £ f(x0) + e,
а стало быть, и тем более
f(x0) - e £ m(x0) £ M(x0) £ f(x0) + e,
откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.
Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно,
m(x0) = M(x0) = f(x0)
и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.
Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что
m(x0) - e < md(x0) £ m(x0), M(x0) £ Md(x0) < M(x0) + e.
Эти неравенства означают, что
f(x0) - e < md(x0), Md(x0) < f(x0) + e.
Если теперь x Î (х0 - d, x0 + d), то f(x) лежит между md(x0) и Md(x0), так что
f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e.
Иначе говоря, из того, что < d вытекает, что
< e,
т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.
Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]
a = < < ¼ < = b
........................
a = < < ¼ < = b
........................
причем при i ® ¥
li = max[ - ] ® 0.
Пусть есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте
[ , ]. Введем функцию ji(x), полагая
ji(x) = при x Î (, )
ji(x) = 0 при x = , , ¼, .
Если х0 не совпадает ни с одной точкой (I = 1, 2, 3, ¼; k = 0, 1, 2, ¼, ni), то
ji(x0) = m(x0).
Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через [ , ] тот из сегментов i -го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то
< x0 <
и, следовательно, при достаточно малых d > 0 будет
(х0 - d, x0 + d) Ì [ , ],
откуда следует, что
£ md(x0)
|
|
или, что то же самое, что
ji(x0) £ md(x0).
Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i
ji(x0) £ m(x0).
Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = - ¥. Пусть т(х0) > - ¥ и пусть
h < m(x0).
Тогда найдется такое d > 0, что md(x0) > h.
Фиксировав это d, найдем столь большое i0, что при i > i0 будет
[ , ] Ì (х0 - d, x0 + d),
где, как и выше, [ , ] есть сегмент, содержащий точку х0. Существование такого i0 следует из условия li ® 0.
Для таких i будет
³ md(x0) > h,
или, что то же самое,
ji(x0) > h.
Итак, для всякого h < m(x0) найдется такое i0, что при i > i0
h < ji(x0) £ m(x0),
а это и значит, что ji(x0) ® m(x0). Лемма доказана.
Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.
В самом деле, множество точек деления { } счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что ji(x) ® m(x) почти везде.
Но ji(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.
Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то
(L) ® (L) .
Действительно, если £ K, то, очевидно,
£ K, £ K,
откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
(L) = = = si,
где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i -му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ® ¥
si ® (L) .
Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра
Si ® (L) .
Но в таком случае
Si - si ® (L) .
С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si ® 0.
Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было
(L) = 0. (1)
Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что
т(х) ~ М(х). (2)
Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).
Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.
Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет
т(х) = М(х).
Но ведь
т(х) £ f(x) £ М(х).
Значит, почти везде
f(x) = m(x),
и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) = (L) .
Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет
si ® (R) ,
где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i- муспособу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,
si ® (L) ,
мы видим, что
(R) = (L) .
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
|
|
В заключение отметим, что функция Дирихле y(x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.
Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции на интервале (1; 2).
Строим срезку
N, f(x) ³ N,
fN(x) =
f(x), f(x) < N.
= N,
x = 1 + .
= ,
= + = Nx + = N - N + -
- = + - = - + ,
= = ,
(L) = .
2) Суммируемы ли функции и на интервале (0; 1).
f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = .
= + = + = 1 - = 1 + ,
= = (1 + ) = +¥,
значит функция f(x) = суммируемой не является.
f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = .
= + = - = - (1 - ) = - 1 + =
= 2 - 1,
= = (2 - 1) = +¥,
значит функция f(x) = суммируемой не является.
3) Суммируема ли функция f(x) = на отрезке [-1; 1], где f(0) = 0.
, x > 0 0, x ³ 0
= =
0, x £ 0 , x < 0
= - .
Строим срезку
N = ,
x = .
(L) = = = =
= = = +¥.
Строим срезку
N = ,
x = .
(L) = = = =
= = = +¥,
значит функция f(x) = не является суммируемой на [-1;1].
4) Суммируема ли функция f(x) = на [1; 3], где f(2) = 1.
, x > 2 0, x ³ 2
= 0, x < 2 =
1, x = 2 , x < 2
Строим срезку
= N,
x = 2 + .
(L) = = =
= = =
= = = .
Строим срезку
= N,
x = 2 - .
(L) = = = = =
функция f(x) суммируема на [1; 3].
Литература
1) Колмогоров, Фомин «Элементы функционального анализа».
2) Натансон И. П. «Теория функций вещественной переменной», С-П, 1999.
3) Очан «Сборник задач по математическому анализу».