Предельный переход под знаком интеграла

Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций

f₁(x), f₂(x), f₃(x), ¼, f_n(x), ¼

которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) схо­дится к измеримой ограниченной функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение

 =                                                                                                             (1)

Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции f_n(x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:

 

            n при xÎ ,  

f_n(x) =

            0 при x ,

 

то при всяком x Î [0, 1] будет

f_n(x) = 0,  но    = 1,

и этот интеграл не стремится к нулю.

Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию f_n(x), чтобы равенство (1) все же имело место.

Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.

Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е за­дана последовательность f₁(x), f₂(x), f₃(x), ¼  измеримых огра­ниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции F(х)

f_n(x) Þ F(x).

Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х

 < K,

то

 =                                                                                                             (1)

Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Î   Е будет

  £ K.                                                                                                                                (2)

В самом деле, из последовательности {f_n(x)} можно (на основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность { (x)}, которая сходится к F(x) почти везде. Во всех точках, где

(x) ® F(x),

можно перейти к пределу в неравенстве   < K, что и при­водит к (2).

Пусть теперь s есть положительное число. Положим,

A_n(s) = E()³s), B_n(s) = E()<s.

Тогда

  £  =  + .

В силу неравенства   £  + , почти для всех х из множества A_n(s) будет

  < 2K,

так что по теореме о среднем

 £ 2K× mA_n(s)                                                                                                     (3)

(то обстоятельство, что неравенство  < 2К может не выпол­няться на множестве меры 0, несущественно. Можно, например, функцию   на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения).

С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,

 £ smB_n(s) £ smE.

Сопоставляя это с (3), находим, что

 £ 2K× mA_n(s) + smE.                                                                                     (4)

Заметив это, возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое s > 0, что

s× mE < .

Фиксировав это s, мы, на основании самого определения сходи­мости по мере, будем иметь, что при n ® ¥

mA_n(s) ® 0

и, стало быть, для n > N окажется

2K× mA_n(s) < .

Для этих n неравенство (4) примет вид

  < e,

что и доказывает теорему.

Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство

  < K

выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.

Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходи­мости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда

f_n(x) ® F(x)

почти везде (и тем более везде).