Замена непрерывной передаточной функции дискретной

Если математическая модель системы представляется в виде соединения линейных и нелинейных блоков, то для описания линейных блоков чаще всего используется передаточная функция K (p). В этом случае цифровую модель непрерывного линейного блока можно получить, заменив непрерывную передаточную функцию K (p) дискретной K (z).

Для этого можно использовать связь между непрерывными и дискретными изображениями, устанавливаемую дискретным преобразованием Лапласа (Z -преобразованием). В таблице 1 приведена эта связь для передаточных функций, используемых в данной лабораторной работе.

Таблица 1

K (p)	1 p	1 p ²	1 (1 + pT)
K (z)	Δ t z (z - 1)	(Δ t) ² z (z - 1) ²	(Δ t / T) z (z - e^- ^{Δ t / T})

Заметим, что здесь комплексная переменная z определяется как z = e^p ^{Δ t} и является оператором опережения на интервал дискретизации. Соответственно z ^-1 - это оператор задержки на интервал дискретизации.

Другой путь предусматривает непосредственный переход от комплексной переменной p к комплексной переменной z заменой операции аналогового интегрирования 1/ p операцией дискретного интегрирования. При дискретном описании аналогового интегрирования можно оперировать только с значениями входного и выходного процессов в моменты дискретизации. На рис.5 показано, как это можно сделать, используя численное интегрирование по методу прямоугольников и по методу трапеций.

Значение выходного процесса y_k интегратора в момент времени t = k Δ t отличается от предыдущего значения y_k _-1 на величину площади S под кривой x (t) (заштрихованная фигура на рис.5 а).

y_k = y_k- ₁ + S

y_k = y_k-1 + Δt x_k-1

y_k = y_k- ₁ + Δ t x_k

y_k = y_k_- ₁ + +Δ t (x_k + x_k_- ₁) /2

а)

б)

в)

г)

Рис.5

По методу прямоугольников площадь можно определить по разному в зависимости от того, какую величину принять за высоту прямоугольника: x_k_- ₁ или x_k (рис.5.5 б и рис.5.5 в). На рис.5.5 г) показано, как вычисляется эта площадь по методу трапеций. Рекуррентные формулы для интегрирования приведены под рисунками.

По этим формулам можно записать дискретные передаточные функции. Поясним это на примере интегрирования по методу трапеций:

y_k = y_k_- ₁ + Δ t (x_k + x_k_- ₁) /2.

Перенесем y_k_- ₁ в левую часть и возьмем от полученного выражения Z -преобразование. Учитывая, что запаздывание на интервал дискретизации в области оригиналов соответствует умножению на z ^-1 в области изображений, получим:

Y (z) - z^- ¹ Y (z) = (Δ t /2) (X (z) + z^- ¹ X (z)).

Дискретная передаточная функция - это отношение Z -изображений выходной и входной переменных, поэтому

K (z) = Y (z) / X (z) = (Δ t /2) (1 + z ^-1) / (1 - z ^-1) = (Δ t /2) (z + 1) / (z - 1).

В таблице 2 приведены выражения дискретных передаточных функций для различных методов численного интегрирования для одного и двух интеграторов.

Таблица 2

K (p)	K (z)
K (p)	Метод прямоугольников (1)	Метод прямоугольников (2)	Метод трапеций
1 p	Δ t z - 1	Δ t z z - 1	Δ t (z + 1) 2 (z - 1)
1 p ²	(Δ t) ² (z +1) 2 (z - 1) ²	(Δ t) ² z (z - 1) ²	(Δ t) ^{2 (} z ² + 4 z + 1) 6 (z - 1) ²

Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.

В таблице 1 была приведена дискретная передаточная функция интегрирующей цепи (для которой К (р) = 1/ (1 + рТ)), полученной применением Z -преобразования. Найдем другие варианты дискретной передаточной функции интегрирующей цепи, отличающиеся методами численного интегрирования.

При использовании метода прямоугольников (1) в передаточную функцию K (p) = 1/ (1 + pT) вместо р нужно подставить (z - 1) /Δ t. Тогда получим

Δt/T z – (1 – Δ t / T)

K (z) = 1/ (1 + (z - 1) T /Δ t) =.

Аналогично можно получить дискретные передаточные функции и для других методов численного интегрирования. Они представлены в таблице 3 Принято обозначение Δ t / T = α

Таблица 3

Метод	K (z)
Z -преобразование	α z z - e ^-α
Метод прямоугольников (1)	α z - (1 - α)
Метод прямоугольников (2)	(α/ (1 + α)) z z - 1/ (1 + α)
Метод трапеций	(α / (2 + α)) (z + 1) z - (2 - α) / (2 + α)