Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.
Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть
Построим случайную величину Y:
. .
Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: . Её функция плотности вероятности задаётся формулой:
где — биномиальный коэффициент.
Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:
,
где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции: .
Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:
,
откуда
,
,
а дисперсия случайной величины.
.
Свойства биномиального распределения
Пусть и . Тогда .
Пусть и . Тогда .
Связь с другими распределениями:
Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы , где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq.
Если n большое, а λ — фиксированное число, то , где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.
Закон Пуассона
Второй предел биноминального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда при неограниченном увеличении числа испытаний математическое ожидание остается постоянным:
Если при , , то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m << n, получим при
Следовательно,
Полученное распределение вероятностей случайной величины называется законом Пуассона.
Распределение Пуассона имеет максимум вблизи
(знак [x] обозначает целую часть числа x, меньшую или равную x).
Числовые характеристики распределения:
Математическое ожидание
Дисперсия
Распределение Пуассона играет важную роль для описания "редких" событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).