Соотношение между средней величиной, медианой и модой

 

Различие между средней арифметической величиной, ме­дианой и модой в данном распределении невелико. Если рас­пределение по форме близко к нормальному закону, то ме­диана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней, чем к моде.

При правосторонней асимметрии х > Ме > Мо; при левосторонней асимметрии х < Ме < Мо.

Me=230 + 10 * ((51,5 – 32)/26)=237,5=Mo

Для умеренно асимметричных распределений справедли­во равенство: IMo - хl = 31Ме - xl.

 

Глава 2. Расчётная часть.

 

Задача №1

Выполнить расчёт средней выработки на одного рабочего в бригаде из 12 человек.

Выработка каждого рабочего представлена в следующей таблице:

Выработка одного рабочего деталей, штук
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
20	18	22	15	27	16	14	28	21	25	17	19

 

Решение:

Определим среднюю выработку по формуле средней арифметической:

__    ∑ Xi    

Х = --------------

    N

X = (20+18+22+15+27+16+14+28+21+25+17+19)/12 = 242/12 = 20,1(6) (штук)

 

Задача №2

Определить среднюю трудоёмкость работ по производству деталей.

Трудоёмкость одной детали, чел.час	5	7	9	4	8	12	14
Объём производства деталей, штук	30	15	35	27	29	30	34

 

Решение:

Для решения используем формулу средней арифметической взвешенной:

 

  __ ∑ X_i*n_i    

Х = --------------

           ∑ n_i    

Х = (5*30+7*15+9*35+4*27+8*29+12*30+14*34)/ (30+15+35+27+29+30+34) = 1746/200 = 8,73 (мин.)

 

Задача №3

 

Определить среднюю выработку рабочего на предприятии. Известно, что норма на одного рабочего в смену составляет 20 деталей.

Удельный вес рабочих предприятия, %	74	15	3	4	2	1	1
Выполнение норма выработки рабочими предприятия (%)	100	95	90	85	80	75	70

 

Решение:

__ ∑ X_i*n_i         

Х = --------------

100%

Х=(74*100+15*95+3*90+4*85+2*80+1*75+1*70)/100= 95,8 (%)

Х=0,958*20=19,16 (деталей)

 

Задача №4

 

Определить среднее время обработки одной детали в бригаде из 9 человек. Определить сколько деталей будет изготовлено бригадой за 8 часовой рабочий день по индивидуальным нормам выработки с использованием полученной средней величины затрат времени на изготовление одной детали членом бригады.

Число рабочих, чел.	2	3	1	1	1	1
Время обработки одной детали, мин.	3	4	5	6	7	8

 

Решение:

1) Используем формулу средней гармонической величины:

__ ∑ n     

Х = --------------

∑ n/х

X= 9/(2/3 + ¾ + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) ~ 4.56 (мин)

Тогда общее количество деталей, изготовленных бригадой из 9 человек за 8 часов, будет равно (480/4,88)*9 ~ 947,34 (дет).

 

2) Находим сколько деталей за 8 часов сделает каждый рабочий:

X₁ = 480/3 = 160 шт; X₂ = 480/3 = 160 шт; X₃ = 480/4 = 120 шт; X₄ = 480/4 = 120 шт; X₅ = 480/4 = 120 шт X₆ = 480/5 = 96 шт; X₇ = 480/6 = 80 шт; X₈ = 480/7 = 68,6 шт; X₉ = 480/8 = 60 шт;.

Просуммировав эти результаты, получаем, что вся бригада за 8 часов сделает:

Х = 160 +160 + 120*3 + 96 + 80 + 68,6 + 60 = 984,6 шт.

 

Задача №5

Определить средний коэффициент роста для динамического ряда данных об объёме выпуска продукции за 5 лет. Показать расчётно, что полученная средняя соответствует данным динамического ряда.

 

 

Год	1996	1997	1998	1999	2000
Объём выпуска продукции, млн. руб	3	24	60	120	156

Решение:

Используем формулу средней геометрической:

        ___________

Х = ^n-1 √X₁*X₂*…*X_n

 

X = ⁴√(24/3)(60/24)(120/60)(156/120) = ⁴√52 ~ 2,68

Проверка: 4*2,68*2,68*2,68*2,68 ~ 206 => средний коэффициент роста не равен 2,68.

 

Задача №6

 

Определить Моду и Медиану для распределения рабочих сдельщиков по нормам выработки.

Выполнение норм выработки рабочими, %	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	150-160	160-170	170-180	180-190
Численность рабочих сдельщиков	12	19	37	47	45	22	11	6	2
Сумма накопленных частот	4	10	23	47	69	80	86	88	89

Решение:

 

Расcчитаем моду по формуле (модальный интервал - 130-140):

M₀=x₀+d(n₂-n₁)/((n₂-n₁)+(n₂-n₃))

M₀=130+10*(47-37)/((47-37)+(47-45)) ~130,08 (%)

Рассчитаем медиану по формуле:

M_е=x₀+d*(½*∑n – S_m-1)/n_m

Сумма накопленных частот в данном случае составит: 12+19+37+47+45+22+11+6+2=201 => Полусумма равна 100,5 => медианный интервал – 130-140. Отсюда, медиана равна:

M_е= 130 + 10*(100,5-23)/24 ~ 146,49 (%)

 

Задача №7

 

Выполнить расчёт средней трудоёмкости обработки деталей методом моментов.

Решение:

Решение можно записать в виде следующей таблицы:

 

Трудоёмкость обработки деталей, мин.	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65
Число деталей, штук.	12	19	37	47	45	22	11	6	2
Среднее значение интервала (X’)	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5 (А)	47,5	52,5	57,5	62,5
(X’ – A)	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20
Ci=(X’-A)/i	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Ci*ni	-16	-18	-26	-24	0	11	12	6	4

 

Рассчитаем среднюю арифметическую:

__ ∑ c_in_i       

С = --------------

∑ n_i

C=(-16-18-26-24+11+12+6+4)/(12+19+37+47+45+22+11+6+2)=-51/201 ~ -0,25

Тогда средняя трудоёмкость равна: X=(C*i + A)= -0,25*5 + 42,5 = 41,23 (мин.)

Задача №8

По данным о численности работников предприятия по годам определить показатели, характеризующие тенденцию развития дан­ного явления во времени:

1.Абсолютные приросты базисные (накопленные) и цепные (годовые).

2.Темпы роста базисные и цепные.

3.Темпы прироста базисные и цепные.

4.Абсолютное значение одного процента прироста; темп наращивания
одного процента.

5.Средний абсолютный прирост; средний темп роста.

6.Постройте график базисных и цепных темпов роста.

На основании расчетов сделайте выводы о тенденции динамики числен­ности работников предприятия.

Расчет показателей выполнить в таблице

Решение:

Годы	Числен-ность работни-ков (чел.)	Абсолютные приросты (чел.)		Темп роста (%)		Темп прироста (%)		Абсолют-ное значе-ние 1% прироста	Темп наращивания одного процента
		Базис-ный	Цеп-ной	Базис-ный	Цеп-ной	Базис-ный	Цеп-ной
2002	1200	-	-	-	-	-	-	-	-
2003	1250	50	50	104,2	104,2	4,2	4,2	11,9	-
2004	1320	120	70	110	105,6	10	5,6	12,5	105
2005	1380	180	60	115	104,5	15	4,5	13,3	105
2006	1460	260	80	121,7	105,8	21,7	5,8	13,8	103,8
2007	1500	300	40	125	102,7	25	2,7	14,8	107,2
Среднее значение		182	60	115,2	104,6

Данные показатели рассчитаны следующим образом:

Абсолютный прирост = Численность рабочих за отчётный период – Численность рабочих за базисный период (или предыдущий, в случае цепного метода)

Темп роста = 100% * Численность рабочих за отчётный период / Численность рабочих за базисный период (или предыдущий, в случае цепного метода)

Темп прироста = Темп роста – 100%

Абсолютное значение 1% прироста = Абсолютный прирост / Темп прироста

Темп наращивания одного процента = Абсолютное значение 1% прироста за отчётный период / Абсолютное значение 1% прироста за базисный (или предыдущий) период

График базисных и цепных темпов роста выглядит следующим образом:

 

 

Задача №9

 

По данным об объеме реализованной продукции (млн. руб.):

1)измерить сезонные колебания объема реализованной продукции, применяя соответствующую формулу индекса се­зонности;

2)показатели сезонной волны изобразить графически;

3)на основе синтезированной модели сезонной волны сделайте прогноз объемов реализованной продукции (млн. руб.) по месяцам 2007 г. возможного объема реализации в 1000 млн. руб.

Расчет выполнить в таблице.

Решение:

Период	Значения	Индекс сезонности	Прогноз на 2007 г.
Январь	30,8	0,87	72,5
Февраль	25,9	0,73	60,8
Март	29,1	0,82	68,3
Апрель	41,1	1,16	96,6
Май	35,2	0,99	82,5
Июнь	39,4	1,11	92,5
Июль	38,4	1,08	90,0
Август	35,3	0,99	82,5
Сентябрь	35,7	1,01	84,4
Октябрь	35,6	1,00	83,3
Ноябрь	36,3	1,02	85,0
Декабрь	42,7	1,20	100
Среднее значение	35,46		83,3

Индекс сезонности расчитывается по формуле: I_s = y_i/y_ср

Так как в 2007 году объём реализации планируется сделать равным 1000 млн. руб, то в среднем по месяцам этот показатель ссоставит 1000/12 = 83,3 млн. руб.

Показатели сезонной волны изображены на следующем графике:

 

Задача №10

 

По данным о продаже товаров на оптовом рынке, вычислите:

1) общий индекс цен;

2) общий индекс физического объема товарной массы;

3) общий индекс товарооборота в фактических ценах;

4) покажите взаимосвязь индексов в относительном и абсолютном выражениях.