Такая структура называется дедуктивным деревом или деревом вывода

4.2.3.2 Принцип резолюции для логики предикатов

Поскольку в логике предикатов внутри предикатов содержатся переменные, то алгоритм доказательства несколько изменяется. В этом случае, перед тем как применить описанный алгоритм, будет проведена некоторая подстановка в переменные и вводится понятие унификации с помощью этой подстановки. Унификацию проиллюстрируем следующим простым примером.

Рассмотрим два предиката – L(x) и L(a). Предположим, что x – переменная, a - константа. В этих предикатах предикатные символы одинаковы, чего нельзя сказать о самих предикатах. Тем не менее подстановкой a в x одинаковыми (эта подстановка и называется унификацией).

Целью унификации является обеспечение возможности применения алгоритма доказательства для предикатов. Например, предположим имеем:

 

 

В данном случае L(x) и  не находятся в дополнительном отношении. При подстановке a вместо x будут получены, соответственно,  и , и поскольку эти предикаты отличаются только символами отрицания, то они находятся в дополнительном отношении. Однако, операцию подстановки нельзя проводить при отсутствии каких-либо ограничений.

Подстановку t в x принято записывать как {t/x}. Поскольку в одной ППФ может находиться более одной переменной, можно оказаться необходимо провести более одной подстановки. Обычно эти подстановки записываются в виде упорядоченных пар {t1/x1, …, tn/xn}.

Условия, допускающие подстановку:

- xi – является переменной,

- ti – терм (константа, переменная, символ, функция) отличный от xi,

- для любой пары элементов из группы подстановок, например (ti/xi и tj/xj) в правых чачтях символов / не содержится одинаковых переменных.

Унификация

Обозначим группу подстановок {t1/x1, …, tn/xn} через q. Когда для некоторого представления L применяется подстановка содержащихся в ней переменных {x1, …, xn}, то результат подстановки, при которой переменные заменяются соответствующими им термами t1, …, tn принято обозначать Lq.

Если имеется группа различных выражений на основе предиката L, то есть L1, …, Lm}, то подстановка q, такая, что в результате все эти выражения становятся одинаковыми, то есть L1q = L2q = … = Lmq, q - называется унификатором {L1, …, Lm}. Если подобная подстановка q существует, то говорят, что множество {L1, …, Lm} унифицируемо.

Множества {L(x), L(a)} унифицируемо, при этом унификатором является подстановка (a/x).

Для одной группы выражений унификатор не обязательно единственный. Для группы выражений {L(x, y), L(z, f(x)} подстановка q = {x/z, f(x)/y} является унификатором, но является также унификатором и подстановка q = {a/x, a/z, f(a)/y}. Здесь a – константа, x – переменная. В таких случаях возникает проблема, какую подстановку лучше выбирать в качестве унификатора.

Операцию подстановки можно провести не за один раз, а разделив ее на несколько этапов. Ее можно разделить по группам переменных, проведя, например, подстановку {t1/x1, t2/x2, t3/x3, t4/x4} сначала для {t1/x1, t2/x2}, а затем для {t3/x3, t4/x4}. Допустимо также подстановку вида a/x разбить на две подстановки u/x и a/u. Результат последовательного выполнения двух подстановок q и l также подстановка и обозначается l°q.

Если существует несколько унификаторов, то среди них непременно найдется такая подстановка s, что все другие унификаторы являются подстановками, выражаемыми в виде s°l, как сложная форма, включающая эту подстановку. В результате подстановки переменные будут замещаться константами и описательная мощность ППФ будет ограничена.

Чтобы унифицировать два различных выражения предиката, необходима такая подстановка, при которой выражение с большей описательной мощностью согласуется с выражением с меньшей описательной мощностью. Такую подстановку принято называть «наиболее общим унификатором» (НОУ). Метод отыскания НОУ из заданной группы предикатов выражений называется алгоритмом унификации.

Этот алгоритм состоит в том, что сначала упорядочиваются выражения, которые подлежат унификации. Когда каждое выражение будет упорядочено в алфавитном порядке, среди них отыскивается такое, в котором соответствующие термы не совпадают межде собой.

Положим, что при просмотре последовательно всех выражений в порядке слева направо несовпадающими термами оказались x, t. Например, получено {L(a, t, f(z)), L(a, x, z)}. В этом случае, если:

1. x является переменной;

2. x не содержится в t, к группе подстановок добавляется {t/x}.

Если повторением этих операций будет обеспечено совпадение всех изначально заданных выражений, то они унифицируемы, а группа полученных подстановок является НОУ.

В приведенном примере третий терм в одном случае z, а в другом – f(z), первое условие выполняется, а второе – нарушается. Поэтому подстановка недопустима. Если в группе предикатных выражений остается хотя бы одно такое, для которого никакими подстановками нельзя получить совпадения с другими выражениями, такая группа называется неунифицируемой.

Рассмотрим другой пример:

P1 = L(a, x, f(g(y))),

P2 = L(z, f(z), f(u)).

1. Первые несовпадающие члены: {a, z}.

Подстановка: a/z. Имеем:

 

P1 = L(a, x, f(g(y))),

P2 = L(a, f(a), f(u)).

2. Первые несовпадающие элементы {x, f(a)}. Подстановка: [f(a)/x]. Имеем:

 

P1 = L(a, f(a), f(g(y))),

P2 = L(a, f(a), f(u)).

3. Первые несовпадающие элементы {g(y), u}. Подстановка: [g(y)/u]. Получаем совпадение. Следовательно, НОУ: [a/z, f(a)/x, g(y)/u].