Основні властивості векторного добутку

1⁰. (ця властивість доведена раніше).

2⁰. .

Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться.

3⁰. і .

Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15).

4⁰.

Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно.

Приклад. Знайти віддаль від точки до прямої,

що проходить через точку паралельно вектору .

Р о з в ’ я з о к. На векторах і побудуємо паралелограм (рис.2.15). Оскільки згідно з означенням векторного добутку площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів і , то .

Отже,

Тому

Оскільки , то

Але .

Тепер вже легко записати, чому дорівнює .

Рис.2.15

Векторно-скалярний (змішаний) добуток

Трьох векторів

Коли мова йде про добуток трьох векторів і , можливі такі випадки:

Легко зрозуміти, що перший добуток є вектором, бо є скаляр, а добуток скаляра на вектор – вектор; у третьому випадку маємо векторний добуток , що множиться векторно на вектор , тобто зводиться до обчислення векторного добутку після того, як обчислено . У другому випадку справа зводиться до обчислення скалярного добутку після того, як обчислено .

З розглянутих трьох добутків змішаним є . Вивченням цього добутку і займемося.

Зрозуміло, що чисельно визначає площу паралелограма, побудованого на векторах і . Нехай . Тоді Чисельно . Але за означенням векторного добутку, а , бо вектор проектувався на вектор .

Отже чисельно можна вважати рівним об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і із знаком “+” або “-” (рис.2.16). Об’єм, очевидно, буде додатним, якщо - гострий, а якщо цей кут тупий, то об’єм буде від’ємним.