Краткие теоретические сведения

Лабораторная работа№1

 

Статистическая устойчивость случайных событий.

 

Вариант 6

 

 

 

 

Выполнил:

Курсант 871 к.о.

                                                                                        Зозуля С.

Проверил:

Борота В.Г.

 

 

Кировоград 2009 г.

Краткие теоретические сведения.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие “при бросании монеты выпал герб” – случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны.

По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Пусть произошло n испытаний, и событие А произошло m раз. Очевидно, что 0£m£n.

Частотой случайного события А в данной последовательности испытаний называется число W(A) где

т.е. отношение количества появлений события А к количеству испытаний.

Событие А называется статистически устойчивым, если при увеличении числа испытаний n частота W(A) стабилизируется и стремится к определенному числу Р почти в каждой серии испытаний. Для проверки статистической устойчивости случайного события А можно построить последовательность значений частоты W(A) при n®¥ и изобразить последовательность на графике. Если W(A) при n®¥ группируется около определённого числа Р, можно предположить устойчивость частоты события А.

Статистическое определение вероятности: вероятностью случайного события А называется такое число Р=Р(А), что частота W(А) стремится к Р при увеличении числа испытаний n почти в каждой серии испытаний.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу.

Произведем n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р (0< p <1).

Величина

q = 1- p

является вероятностью события Ā, противоположного событию А, заключающегося в не появлении события А

q = p (Ā)

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонения относительной частоты  от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства .

Эту вероятность будем обозначать так:

Можно доказать, что

Здесь

функция Лапласа.

При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл  не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для х< 0 пользуются той же таблицей, поскольку функция Φ(x) – нечетная, Φ(-x)= - Φ(x).

В таблице приведены значения интеграла только для x = 5, так как для x>5 можно принять Φ(x)=0,5.

Доверительная вероятность:

Пусть найденная по данным серии опытов статистическая характеристика W(A) служит оценкой неизвестного параметра Р(А). Ясно, что W(A) тем точнее определять параметр Р(А), чем меньше абсолютная величина разности÷Р(А)-W(А)÷. Другими словами, если

÷Р(А)-W(А)÷< e, то чем меньше e, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число e характеризует точность оценки.

Надёжностью или доверительной вероятностью оценки Р(А) по W(А) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство

÷Р(А)-W(А)÷< e

Обычно надёжность оценки задаётся наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,9; 0,95; 0,99 и 0,999. Если нужно оценить минимальное число опытов, необходимое для стабильного получения отклонений частоты в пределах заданной величины e, то для доверительной вероятности γ =0,95 можно пользоваться формулой

 

Варианты задач для заданий 1 и 2

 

Задача 1.

Событие А – появление герба при бросании монеты. Результаты опытов отражены в приложении 1. Серии брать по 10 бросаний монеты. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.

Задача 2.

Событие А – регистрация мальчиков среди новорожденных. Результаты опытов отражены в приложении 2. Серии брать по 10 регистраций. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.

Задача 3.

Событие А – поступление в КИСМ абитуриентов с фамилией, начинающейся с буквы К. Результаты опытов отражены в прил. 3. Серии брать по числу студентов в группах. Последовательность опытов -в таблице заданий.

Задача 4.

Событие А – появление цифры 1,2,3,4,5 или 6 при бросании игрального кубика. Результаты опытов отражены в приложении 4. Серии брать по 30 бросаний кубика. Последовательность испытаний и цифра указаны в таблице заданий.

Задача 5.

Сделать вырезку из газеты или журнала. Событие А – появление буквы в тексте. В отрывке должно быть 2000 букв. Серии брать по 100 букв. Необходимая буква указана в таблице заданий. Вероятности появлений русских букв в тексте в приложении 11.

Таблица заданий

 

Номер	Номер задачи	Последовательность	Вариант буквы
варианта	для задания 1	испытаний	для задания 2
1	1	1-300	Задача 5 - "О"
2	1	101-400	Задача 5 - "И"
3	1	201-500	Задача 5 - "А"
4	1	301-600	Задача 5 - "Е"
5	1	401-700	Задача 5 - "О"
6	1	501-800	Задача 5 - "И"
7	2	1-360	Задача 5 - "А"
8	2	121-480	Задача 5 - "Е"
9	2	241-600	Задача 5 - "О"
10	2	351-720	Задача 5 - "И"
11	2	481-840	Задача 5 - "А"
12	2	601-960	Задача 5 - "Е"
13	2	721-1080	Задача 5 - "О"
14	3	С01-Д91	Задача 5 - "И"
15	3	Д91-Р83	Задача 5 - "А"
16	4	1-600 цифра 6	Задача 5 - "Е"
17	4	1-600 цифра 5	Задача 5 - "О"
18	4	1-600 цифра 4	Задача 5 - "И"
19	4	1-600 цифра 3	Задача 5 - "А"
20	4	1-600 цифра 2	Задача 5 - "Е"
21	4	1-600 цифра 1	Задача 5 - "О"
22	4	301-900 цифра 6	Задача 5 - "И"
23	4	301-900 цифра 5	Задача 5 - "А"
24	4	301-900 цифра4	Задача 5 - "Е"
25	4	301-900 цифра 3	Задача 5 - "О"
26	4	301-900 цифра 2	Задача 5 - "И"
27	4	301-900 цифра 1	Задача 5 - "А"
28	4	451-1050 цифра 6	Задача 5 - "Е"
29	4	451-1050 цифра 5	Задача 5 - "О"
30	4	451-1050 цифра 4	Задача 5 - "И"