2020-01-14
549
Уравнение вида
anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если
an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
— разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;
— группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;
— ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено
t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2 – 2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2 + bt + c – 2a = 0;
— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.
Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой
|
|
|
x + 1 / x = t.
Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.
Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени
ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0
Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.
Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.
Формулы Виета для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен P (x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an
имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида
a0xn + a1xn – 1 + … + an = a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn).
Разделим обе части этого равенства на a0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство
Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =
|
|
|
= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +
+ … + (-1)nx1x2…xn.
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства
x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,
x1x2 + x1x3 + … + xn – 1xn = a2 / a0,
…………………….
x1x2× … ×xn = (-1)nan / a0.
Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.
Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета имеем
s1 = x1 + x2 +x3 = 3,
s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,
s3 = x1x2x3 = – 5.
Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 и поэтому
b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (x12 + x22 + x32),
b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,
b3 = – y1y2y3 = – x12x22x32 .
Но имеем
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = s12 - 2s2 = 32 – 2×7 = – 5,
x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2 +x3)= s22 – 2s1s3 = = 72 – 2×3×(– 5)= 79,
x12x22x32 = (x1x2x3)2 = s32 = 25.
Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид
y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Системы уравнений второй степени.
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
 |
2x + y = 7,
xy = 6.
Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений
y = 7 – 2x,
7x – 2x2 = 6.
Квадратное уравнение – 2x2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.
Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ: 5,5.
Пример 6.24. Решить систему уравнений
x + y + 2xy = 7,
xy + 2(x + y) = 8.
Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.
Получаем систему уравнений
 |
a + 2b = 7,
b + 2a = 8
или
a = 7 – 2b,
b + 14 – 4b = 8.
Отсюда
a = 3,
b = 2.
Возвращаясь к переменным x и y, получаем
x + y = 3,
xy = 2.
Решив эту систему:
x = 3 – y,
(3 – y)y = 2;
y2 – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.
Ответ: (2; 1), (1; 2).
Пример 6.25. Решить систему уравнений
y2 – xy = 12,
x2 – xy = – 3.
Решение. Разложим левые части уравнений на множители:
y(y – x) = 12,
x(x – y) = – 3.
Выразив из второго уравнения (x ¹ 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим
y / x = 4,
x(x – y) = – 3, откуда
y = 4x,
x(x – y) = – 3.
Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем
- 3x2 = – 3, X1 = 1; X2 = – 1, тогда Y1 = 4; Y2 = – 4.
Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).
Пример 6.26. Решим задачу.
Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м2.
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
х + у = 8,
ху = 15,
т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.
Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х2 = 15 или
х2 - 8х + 15 = 0.
Решим это уравнение: D = (-8)2 - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,
Х1,2 = (8 ± Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.
Значит, х1 = 5, х2 = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у1 = 3, а у2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.
Замечание: уравнение х2 - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z2 - 8z + 15 = 0.
|
|
|
Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.
Пример 6.27. Решим систему уравнений
2х + у = 11,
х2 + у2 = 53.
Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.
Раскроем скобки и приведём подобные члены:
х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53
и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение
5х2 - 44х + 68 = 0.
Решая его, находим D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,
Х1,2 = (44 ± 24) / 10.
Итак х1 = 6,8; х2 = 2, Þ у1 = 11 - 2×6,8 = -2,6; у2 = 11 - 2×2 = 7.
Ответ: х1 = 6,8; у1 = -2,6; х2 = 2; у2 = 7.
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.
Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) - 3 / (х2 + 2х - 2) = 1.
Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид
12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у2 - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,
откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его корни х1 = 1, х2 = -3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4 = -4).
Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).
|
|
|
Пример 7.29. Решим систему уравнений
 |
2 / х + 3 / у = 8,
5 / х - 2 / у = 1.
Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид
2U + 3V = 8,
5U - 2V = 1,
т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.
Ответ: x = 1, y = 0,5.
Пример 7.30.
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.
Решение. (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.
(x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.
Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t1 = – 42; t2 = 40. Поэтому
x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x1,2 Î Æ.
x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.
Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.
Пример 7.31.
2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.
Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим
2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.
2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,
обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т.е. x2 + 1 / x2 = t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = – 4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем
x + 1 / x = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = –2 ± Ö3,
x + 1 / x = 2,5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Ответ: x1,2 = –2 ± Ö3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Пример 7.32.
(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.
Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t + 1)4 = 16, т.е.
t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,
т.е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, или t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z ³ 0, тогда
z2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.
С учётом t2 = z ³ 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда t1 = –1; t2 = 1. Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = – 3.
Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.
Пример 7.33.
13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.
Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:
13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,
обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.
13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.
6t2 – 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0,
t1 = 1; t2 = 5,5.
Следовательно:
2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x Î Æ.
2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.
Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.
Пример 7.34.
x4 – 2x3 + x – 0,75 = 0.
Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x2:
x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0,75 = 0, т.е.
(x2 – x)2 – (x2 – x) – 0,75 = 0.
Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0,75 = 0, x1 = – 0,5; x2 = 1,5.
Возвращаясь к старой переменной, получаем:
x2 – x = – 0,5; x2 – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x Î Æ.
x2 – x = 1,5; x2 – x – 1,5 = 0; x1,2 = (1 ± Ö7) / 2.
Ответ: x1,2 = (1 ± Ö7) / 2.
Пример 7.35.
x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.
Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a - b)2 = a2 - 2ab + b2Þ Þ a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab). Получаем:
(x – 9x / (9 + x))2 + 2x×9x / (9 + x) = 40, или
(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.
Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 = 2. Получаем два уравнения:
(x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ± Ö19,
(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x Î Æ.
Ответ: x1,2 = 1 ± Ö19.
Однородные уравнения.
Пример 8.36. Решим систему уравнений
8х2 - 6ху + у2 = 0,
х2 + у2 = 5.
Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение
8х2 / у2 - 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 - 6х / у + 1 = 0.
Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид
8U2 - 6U + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = - 1; соответственно у1 = 2, у2 = - 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = Ö(5 / 17), x4 = -Ö(5 / 17); соответственно y3 = 4Ö(5 / 17), y4 = - 4Ö(5 /17).
Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.
Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.
Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.
Пример 8.37. Решить систему уравнений
 |
y2 - xy = -12,
x2 - xy = 28.
Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 - 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 - 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:
x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.
Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2.
Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:
U = (x - 1)2, V = (x + 1)2.
Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.
Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится уравнением относительно неизвестного W:
W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2.
Решим вспомогательное уравнение
W2 - 10W + 9 = 0.
Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения
(x - 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x - 1)2 / (x + 1)2 = 9.
Из первого уравнения следует, что либо (x - 1) / (x + 1) = 1, либо (x - 1) / (x + 1) = -1.
Из второго получаем, что либо (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Пример 8.39.
3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.
Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида
ay2a + byaza + cz2a = 0,
где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2 ¹ 0:
3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0.
Пусть (x + 1) / (x2 – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t2 = 0, т.е. t1 = – 3; t2 = 0,5. Следовательно:
(x + 1) / (x2 – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 – x + 1; x2 – 3x – 1 = 0; x1,2 = (3 ± Ö13) / 2,
(x + 1) / (x2 – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x2 + 3x – 3; 3x2 – 2x + 4 = 0; D = 4 – 48 < 0, Þ x Î Æ.
Ответ: x1,2 = (3 ± Ö13) / 2.
Решение симметрических систем уравнений.
Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x, y) = P (y, x).
При решении систем уравнений вида
|
P1 (x, y) = 0,
P2 (x, y) = 0,
где P1 (x, y) и P2 (x, y) — симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.
Пример 9.40. Решить систему уравнений
x2 + xy + y2 = 49,
x + y + xy = 23.
Решение. Заметим, что:
x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 - xy = (x + y)2 - xy.
Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V. Система примет вид:
U2 - V = 49,
U + V = 23.
Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U - 72 = 0 с корнями U1 = 8,U2 = -9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы уравнений:
x + y = 8,
xy = 15,
x + y = - 9,
xy = 32.
Система x + y = 8, имеет решения: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.
xy = 15.
Система x + y = - 9, действительных решений не имеет.
xy = 32.
Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.
Пример 9.41. Решить систему
1 / x + 1 / y = 5,
1 / x2 + 1 / y2 = 13.
Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:
X = 1 / x, Y = 1 / y,
а затем U и V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.
Получается система:
U = 5,
U2 - 2V = 13,
из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему
X + Y = 5,
XY = 6,
находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x + y, V = xy, получится система
U = 5V,
U2 - 2V = 13V2,
Приводящая к тем же решениям исходной системы.
Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров).
Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a ¹ 0 является x = (c - b) / a. Если a = 0, то получается “уравнение” b = c, и если действительно b = c, то корнями данного уравнения являются все действительные числа. Если же b ¹ c, при этом a = 0, то данное уравнение корней не имеет.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве примеров следующие объекты:
· функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y — переменные; k — параметр,k ¹ 0);
· линейная функция: y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры);
· линейное уравнение: ax + b = 0 (x — переменная; a и b —параметры);
· уравнение первой степени: ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры, a ¹ 0);
· квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 (x — переменная; a, b и c — параметры, a ¹ 0).
Решить уравнение с параметрами означает следующее:
1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2) Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет корни …, при таких-то значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.
Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p. Если p ¹ 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, потому что 0×x = 0 для любого x.
Ответ: при p ¹ 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.
Пример 10.43. Сравнить: -a и 3a.
Решение. Естественно рассмотреть три случая:
Если a < 0, то -a > 3a;
Если a = 0, то -a = 3a;
Если a > 0, то -a < 3a.
Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a ¹ 0, то x = 1 / a.
Пример 10.45. Решить уравнение (a2 - 1)x = a + 1.
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно рассмотреть такие случаи:
1) a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений;
2) a = -1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.
3) a ¹ ±1; имеем x = 1 / (a - 1).
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести
Ответ: Если a = -1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a ¹ ±1, то x = 1 / (a - 1).
Пример 10.46. При каких a уравнение ax2 - x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a ¹ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12a принимает значение, равное нулю, при a = 1 / 12.
Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.
Пример 10.47. при каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a ¹ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то
Ответ: a = 5.
Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё “коварство”, особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр “расставляет ловушки”.
Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a¹0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 - 4a2 - 12a — положительный. Отсюда получаем -4 < a < 1. Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ: -4 < a < 0 или 0 < a < 1.
Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 имеет более одного корня?
Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = -3. При a = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При a = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При a ¹ -3 и a ¹ 0, разделив обе части данного уравнения на a + 3, получим квадратное уравнение ax2 + 2x - 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + 3a) положителен при a > -1 / 3. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка (-1 / 3; ¥) надо исключить точку a = 0, а в ответ не забыть включить a = -3.
Ответ: a = -3 или -1 / 3 < a < 0, или a > 0.
Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x2 - ax + 1) / (x + 3) = 0 имеет единственное решение?
Решение. Данное уравнение равносильно системе
x2 - ax + 1 = 0,
x ¹ -3.
Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x ¹ -3 должно привлечь внимание. И “тонкий момент” заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем D = a2 - 4, отсюда D = 0, если a = ±2; x = -3 — корень уравнения x2 - ax + 1 = 0 при a = -10 / 3, причём при таком значении a второй корень квадратного уравнения отличен от -3.
Ответ: a = ±2 или a = - 10 / 3.
Пример 10.51. При каких a уравнение ax2 = a2 равносильно неравенству
|x - 3| ³ a?
Решение. При a ¹ 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство — бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0.
Ответ: a = 0.
Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами
(a2 - 9)x = a2 + 2a - 3.
Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:
(a - 3)(a + 3)x = (a + 3)(a - 1).
Если a = -3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что при x Î R, т.е. решением уравнения является любое действительное число. Если a ¹ -3, то уравнение принимает вид: (a -3)x = a -1.При a = 3 имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a ¹ -3 имеем x = (a - 1) / (a - 3). Уравнение имеет единственное решение (например, x = 3 при a = 4, x = 3 / 5 при a= - 2 и т.д.)
Ответ: a = -3, x Î R; a = 3, x Î Æ; a ¹ ±3, x = (a - 1) / (a - 3).
Пример 10.53.
(x - 4) / (x + 1) - 1 / a(x + 1) = -2 / a.
Решение. Очевидно, (x + 1)a ¹ 0, т.е. x ¹ -1, a ¹ 0. Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) ¹ 0:
(x - 4)a - 1 = -2(x + 1), т.е. (a + 2)x = 4a -1.
Если a = -2, то имеем 0х = -9. Следовательно, xÎ Æ. Если a ¹ -2, то x = (4a +1) / (a + 2). Но, как мы уже отметили, x ¹ -1. Поэтому надо проверить, нет ли таких значений a при которых найденное значение x равно -1.
(4a - 1) / (a + 2) = -1, т.е. 4a - 1 = -a - 2, т.е. 5a = -1, a= -1 / 5.
Значит, при a ¹ 0, a ¹ -2, a ¹ -1 / 5 уравнение имеет единственное решение (4a - 1) / (a + 2).
Ответ: x Î Æ при a Î {-2, 0, -1 / 5}; x = (4a - 1) / (a + 2) при aÏ {-2, 0, -1 / 5}.
Пример 10.54.
(a - 5)x2 + 3ax - (a - 5) = 0.
Решение. При (a - 5) = 0, т.е. a = 5 имеем 15x - 0 = 0, т.е. x = 0. При a - 5 ¹ 0, т.е. a ¹ 5 уравнение имеет корни
X1,2 = (-3a ± Ö(9a2 + 4(a - 5)2)) / (2(a - 5)).
Ответ: x = 0 при a = 5; x = (-3a ± Ö(9a2 + 4(a - 5)2)) / (2(a - 5)) при a ¹ 5.
Пример 10.55.
1 / (x - 1) + 1 / (x - a) = (a + 1) / a.
Решение. Отмечаем, что a(x - 1)(x - a) ¹ 0, т.е. x ¹ 1, x ¹ a, a ¹ 0. При этих условиях данное уравнение после упрощений принимает вид
(a + 1)x2 - (a2 + 4a + 1)x + (2a2 + 2a) = 0.
Если a +1 = 0, т.е. a = -1, имеем, 2x = 0, т.е. x = 0.
Если a + 1 ¹ 0, т.е. a ¹ -1, то находим, что
x1,2 = (a2 + 4a + 1 ± Ö(a4 + 2a2 + 1)) / (2(a +1) = (a2 + 4a + 1 ± (a2 + 1)) / (2(a + 1))
т.е. x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1). Найдём значения a, при которых x = 1 и x = a, чтобы исключить их.
a + 1 = 1 Þ a = 0 — недопустимо по условию;
a + 1 = a Þ 1 = 0 — невозможно;
2 / (a + 1) = 1 Þ 2a = a + 1, т.е. a = 1;
2 / (a + 1) = a Þ 2a = a2 + a, a = 1 и a = 0 — недопустимо.
Итак, если a ¹ -1, a ¹ 0, a ¹ 1, то x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1).
Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при a = 1. Найдём корни уравнения: x1 = 1 и x2 = 2, причём x1 = 1 не подходит по условию. Теперь выписываем
Ответ: x1 = a + 1 и x2 = 2 при a ¹ 0, a ¹ ±1; x = 0 при a = -1; x = 2 при a = 1.
Пример 10.56. При каких значениях a система уравнений
axy + x - y + 1,5 = 0,
x + 2y + xy + 1 = 0.
Имеет единственное решение?
Решение. Умножим второе уравнение на a и вычтем его из первого уравнения. Получаем равносильную систему
axy + x - y + 1,5 - ax - 2ay -axy - a = 0,
x + 2y + xy + 1 = 0, т.е.
(1 - a)x - (2a + 1)y + 1,5 - a = 0,
x + 2y + xy + 1
a) Если a = 1, то -3y + 0,5 = 0, т.е. y = 1 /6. Подставив это значение во второе уравнение, находим единственное значение x. Система имеет единственное решение.
b) Если a = -0,5, то система имеет единственное решение.
c) При остальных значениях a сведём систему к квадратному уравнению; из первого уравнения системы находим
y = ((1 - a)x + 1,5 - a) / (2a + 1),
подставляем во второе уравнение:
x + ((2 - 2a)x + 3 - 2a) / (2a + 1) + ((1 - a)x2 + 1,5x - ax) / (2a + 1) +1 = 0, т.е.
2ax + 3x -2ax + 3 -2a + x2 - ax2 +1,5x - ax + 2a + 1 = 0,
(1 - a)x2 + (4,5 - a)x + 4 = 0.
Уравнение имеет единственное решение в том случае, когда дискриминант равен нулю:
(9 / 2 - a)2 - 4× 4(1 - a) = 0, т.е. a2 + 7a + 17 / 4 = 0, т.е. a = (-7 ± 4Ö2) / 2.
Ответ: a = 1, a = -1 / 2, a = (-7 ± 4Ö2) / 2.
Пример 10.57.
x3 – (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x – abc =0.
Решение. x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx +bcx – abc = 0,
группируем: x2(x – a) – bx(x – a) – cx(x – a) – cx(x – a) + bc(x – a),
(x – a)(x2 – bc – cx + bc).
(x – a) = 0,
x1 = a.
x2 – bc – cx + bc = 0,
x(x – b) – c(x – b) = 0,
(x – b)(x – c) = 0,
x – b = 0, x2 = b
x – c = 0, x3 = c.
Ответ: x1 = a; x2 = b; x3 = c.
Замечание: корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения:
если x3 + px2 + qx + r = 0, то
x1 + x2 + x3 = - p,
x1x2 + x1x3 + x2x3 = q,
x1x2x3 = - r.
В нашем случае:
x1 + x2 + x3 = a + b + c,
x1x2 + x1x3 + x2x3 = ab + bc +cd,
x1x2x3 = abc.
Отсюда следует, что x1 = a; x2 = b; x3 = c.
Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решать графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Нам уже известны графики следующих уравнений:
1) ax + by + c = 0 — прямая линия.
2) xy = k — гипербола.
3) (x - a)2 + (y - b)2 = R2 — уравнение окружности с центром A(a, b) и радиусом R.
К этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов уравнения вида:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.
4) ax2 + bx + c = 0 — парабола y = ax2 c вершиной в точке A(m, n), где m = -b / 2a, а n = (4ac - b2) / 4a.
Пример 11.58. Найдём графически корни системы:
x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0,
2x - y = -1.
Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:
x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = (x2 - 2x +1) + (y2 + 4y + 4) -1 - 4 - 20 = (x - 1)2 + (y + 2)2 - 25.
Значит, систему уравнений можно записать так:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 25,
2x - y = -1.
Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; -2) и радиусом 5. А 2x - y = - 1 — уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и проводим прямую через точки B и C. Эти линии пересекаются в двух точках M(1; 3) и N(-3; -5). Значит решение системы таково: x1 = 1, y1 = 3; x2 = -3, y2 = -5.
 |
Уравнения содержащие знак модуля.
Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются лишь знаком: если |a| = |b|, то либо a = b, либо a = -b. Применим это замечание к решению уравнения
|3x - 1| = |2x + 3|.
В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х - 1 = 2х + 3, либо 3х - 1 = -(2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4, а второго — число -2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х1 = 4, х2 = -2 / 5.
В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f (x), если f (x) ³ 0,
| f (x) | =
– f (x), если f (x) < 0.
Пример 12.59. Решим уравнение.
|x| = |3 - 2x| - x - 1.
Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 - 2x — при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (-¥; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2; ¥). При -¥ < x < 0 имеем x < 0 и 3 - 2x > 0. Поэтому на этом промежутке |x| = - x, |3 - 2x| = 3 - 2x и уравнение принимает вид -x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не лежит на (-¥; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет. При 0 £ x £ 3/ 2 имеем x ³ 0, 3 - 2x ³ 0, поэтому |x| = x, |3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение принимает вид x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это значение x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +¥) имеем x > 0, 3 - 2x < 0, а потому |x| = x, |3 - 2x| = -(3 - 2x) и уравнение принимает вид x = -(3 - 2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Значит, на этом промежутке нет корней заданного уравнения.
Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а именно x = 0,5.
Ответ: x = 0,5.
В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.
Пример 12.60. |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.
Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, -3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (-¥; -3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +¥) уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Поэтому ответ имеет вид [-3; 5 / 6].
Ответ: [-3; 5/ 6].
Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.
Пример 12.61. Решим уравнение |2x - 3 - |x + 2|| = 8x + 12.
Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = -2. Если x < -2, то (x + 2) < 0 и потому |x + 2| = -(x + 2). Значит, на промежутке (-¥; - 2) заданное уравнение принимает вид |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т.е. |3x - 1| = 8x + 12. Но при x < -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому |3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x + 12, имеющее корень x = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-¥; - 2), то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.
Пусть теперь x ³ - 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение |2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. |x - 5| = 8x + 12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x ³ 5. В первом случае ½x - 5| = -(х - 5), и потому получаем уравнение -(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Поскольку -2 £ (-7 / 9) £ 5, то -7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x ³ 5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение принимает вид x - 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения является число -17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +¥), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = - 7 / 9.
Ответ: x = -7 / 9.
Пример 12.62.
|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из полученных интервалов:
 |
А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так:
1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 Î(–¥; – 2 / 3).
Б) если – 2 / 3 £ x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 ³ 0, x < 0 и поэтому имеем:
1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3 ¹ 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.
В) если 0 £ x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x = 2; x = 1 Ï[0; 0,5).
Г) если 0,5 £ x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 Î(0,5; ¥).
Ответ: x1 = – 1; x2 = 2 / 3.
Пример 12.63.
| x | + | x – 1 | = 1.
Решение. (x – 1) = 0, x = 1; Þ получаем интервалы:
A) x Î(-¥; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 Ï(-¥; 0).
Б) x Î[0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 Þ x — любое число из [0; 1).
В) x Î[1; ¥), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 Î[1; ¥).
Ответ: x Î[0; 1].
Основные методы решения рациональных уравнений.
1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле
 |
Также используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.
2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение
(x2 + x – 5) / x + 3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,
легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t, получаем t + (3 / t) + 4 = 0.
Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.
В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение
(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.
Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.
Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8.
В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например
1) Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку
x = t – (a + b) / 2.
2) Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.
3) Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т.д.
4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pÎZ, qÎN.
5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f (x), если f (x) ³ 0,
| f (x) | =
– f (x), если f (x) < 0.
Рациональные неравенства.
Пусть ¦(c) ¾ числовая функция одного или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство
¦(c) < 0 (¦(c) > 0) (1)
¾ это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.
Множество решении нестрого неравенства
¦(c) £ 0 (¦(c) ³ 0) (2)
представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и множества решении уравнения ¦(c) = 0.
Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.
Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦(c).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции ¦i(c), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств ¾ это значит найти множество всех значении аргументов функции ¦i(c), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.
Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.
Свойства равносильных неравенств.
При решении неравенств используют свойства равносильности.
Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают.
Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества решении хÎ[2; +¥]. Эти неравенства – равносильные.
Неравенства х > 0 и х2 > 0 – неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество хÎ[0; +¥], а решение второго неравенства есть множество хÎ[-¥; 0]È[0; +¥]. Эти множества не совпадают.
При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.
Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хÎR.
Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные.
Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.
По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство.
Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.
б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).
Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.
Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хÎR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.
Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хÎR.
Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные.
Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хÎR; получим равносильное неравенство:
P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).
Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),
T(x) > 0, xÎR,
P(x)×T(x) > Q(x)×T(x) – неравенство (2).
Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.
Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.
По свойству числовых неравенств P(a)×T(a) > Q(a)×T(a) – тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства.
Пусть при х = b неравенство P(b)×T(b) > Q(b)×T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго неравенства.
По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении первого неравенства.
Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.
Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.
Алгебраические неравенства.
Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0, a ¹ 0,
решениями которых будут:
при a > 0
xÎ(-; ¥), xÎ(-¥; - ), xÎ[ -; ¥), xÎ(-¥; - ],
при а < 0
xÎ(-¥; - ), xÎ(-; ¥), xÎ(-¥; - ], xÎ[ -; ¥).
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ³ 0, ax2 + bx + c £ 0,
где a, b, c ¾ некоторые действительные числа и а ¹ 0.
Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от знач
