Формула решения квадратного уравнения

Сначала разделим обе части уравнения ax² + bx + c = 0 на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x² + (b / a)x + (c / a) = 0                                                             

выделим в левой части полный квадрат

x² + (b / a) + (c / a) = (x² + 2(b / 2a)x + (b / 2a)²) – (b / 2a)² + (c / a) =

= (x + (b / 2a))² – (b²) / (4a²) + (c / a) = (x + (b / 2a))² – ((b² – 4ac) / (4a²)).

Для краткости обозначим выражение (b² – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a²)).

Возможны три случая:

1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD)². Тогда

D / (4a²) = (ÖD)² / (2a)² = (ÖD / 2a)², потому тождество принимает вид

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (ÖD / 2a)².

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

 

Теорема: Если выполняется тождество

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при X₁ ¹ X₂ имеет два корня X₁ и X₂, а при X₁ = X₂ — лишь один корень X₁.

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x² + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение  ax² + bx + c = 0, имеет два корня:

X₁=(-b + Ö D) / 2a;    X₂= (-b - Ö D) / 2a.

Таким образом      x² + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b² – 4ac = D.

 

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a²))

принимает вид       x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))².

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2:  X₁ = – b / 2a

 

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a²))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x² + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax² + bx + c = 0.

 

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b² – 4ac.

Если  D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X₁=(-b + ÖD) / (2a);            X₂= (-b - ÖD) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b  или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x² + px + q = 0.

 

Теорема Виета.

Мы вывели тождество

x² + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

где X₁ и X₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.

x² + (b / a)x + (c / a) = x² – x₁x – x₂x + x₁x₂ = x² – (x₁ + x₂)x +x₁x₂.

Отсюда следует, что X₁ + X₂ = – b / a и X₁X₂ = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X²; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X².

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства

X₁ + X₂ = – b / a и X₁X₂ = c / a,

то числа X₁ и X₂ являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Замечание. Формулы  X₁ + X₂ = – b / a и X₁X₂ = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение  ax² + bx + c = 0 имеет один корень X₁ кратности 2, если положить в указанных формулах X₂ = X₁. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax² + bx +c = 0  имеет два совпадающих друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения 

 (1 / X₁) + (1/ X₂)= (X₁ + X₂)/ X₁X₂;

X₁² + X₂² = (X₁ + X₂)² – 2 X₁X₂;

X₁ / X₂ + X₂ / X₁ = (X₁² + X₂ ²) / X₁X₂ = ((X₁ + X₂)² – 2X₁X₂) / X₁X₂;

X₁³ + X₂³ = (X₁ + X₂)(X₁² – X₁X₂ + X₂²) =

= (X₁ + X₂)((X₁ + X₂)² – 3X₁X₂).

 

Пример 3.9. Решить уравнение 2x² + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X₁ = (- 5 + Ö33) / 4; X₂ = (- 5 -Ö33) / 4.

Ответ: X₁ = (- 5 + Ö33) / 4;  X₂ = (- 5 -Ö33) / 4.

 

Пример 3.10. Решить уравнение x³ – 5x² + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x² – 5x + 6) = 0,

отсюда x = 0 или x² – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X₁ = 2, X₂ = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

 

Пример 3.11.

x³ – 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение, записав     –3x = – x – 2x, x³ – x – 2x + 2 = 0,       а теперь группируем

x(x² – 1) – 2(x – 1) = 0,

(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,

x – 1 = 0, x₁ = 1,

x² + x – 2 = 0, x₂ = – 2, x₃ = 1.

Ответ: x₁ = x₃ = 1, x₂ = – 2.

 

Пример 3.12. Решить уравнение

 

= – 2.

7(x – 1)(x – 3)(x – 4)

 

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)

 

Решение. Найдём область допустимых значений x:

X + 2 ¹ 0; x – 6 ¹ 0; 2x – 7 ¹ 0      или x ¹ – 2; x ¹ 6; x ¹ 3,5.

Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x² – 7x + 12) = (14 – 4x)(x² – 4x – 12), раскрываем скобки.

7x³ – 49x² + 84x – 14x² + 98x – 168 + 4x³ – 16x² – 48x – 14x² + 56x + 168 = 0,

11x³ – 93x² + 190x = 0,

x(11x² – 93x + 190) = 0,

x₁ = 0

11x2 – 93x + 190 = 0,

                                     

        93±Ö(8649 – 8360)      93 ± 17

 x_{2,3 =}                                 =               ,

                 22                        22

 

т.е. x₁ = 5; x₂ = 38 / 11.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x₁ = 0; x₂ = 5; x₃ = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x⁶ – 5x³ + 4 = 0

Решение. Обозначим y = x³, тогда исходное уравнение принимает вид

y² – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y₁ = 1; Y₂ = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений: x³ = 1 или x³ = 4, т. е. X₁ = 1 или X₂ = ³Ö4

Ответ: 1; ³Ö4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x³ – 27) / (x – 3) = 27

 

Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):

(x – 3)(x² + 3x + 9) / (x – 3) = 27. Отсюда:

 

x² + 3 x + 9 = 27,

x – 3 ¹ 0;

x² + 3 x – 18 = 0,

x ¹ 3.

 

Квадратное уравнение x² + 3 x – 18 = 0 имеет корни X₁ = 3; X₂ = -6

(X1 не входит в область допустимых значений).

Ответ: -6

Пример 3.15. Решить уравнение

(x² + x –5) / x + (3x) / (x² + x – 5) = 4.

Решение. Обозначим y= (x² + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.

Преобразуем его: y + 3 / y – 4 = 0, (y² – 4y + 3) / y = 0, отсюда

y² – 4y + 3 = 0,

y ¹ 0

Квадратное уравнение y² – 4y + 3 = 0 имеет корни Y₁ = 1; Y₂ = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).

Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений

(x² + x – 5) / x = 1 или (x² + x – 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x² + x – 5) / x – 1 = 0 или (x² + x – 5) / x – 3 = 0;

x² – 5 = 0,

x ¹ 0

или

x² – 2x – 5 = 0,

x ¹ 0;

 

X₁ = Ö5; X₂ = – Ö5 или X₃ = 1 + Ö6; X₄ = 1 – Ö6

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: Ö5; – Ö5; 1 + Ö6; 1 – Ö6.

 

Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x² + 5x + 6)(x² + 5x) = 72.

Обозначим y = x² + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или

y² + 6y – 72 = 0.

Корни этого уравнения: Y₁ = 6; Y₂ = – 12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x² + 5x = 6 или x² + 5x = – 12.

Первое уравнение имеет корни X₁ = 1; X₂ = – 6. Второе уравнение корней не имеет, так как  D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

 

Пример 3.17. Решить уравнение 4x² + 12x + 12 / x + 4 / x² = 47.

Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x² + 1 / (x²)) + 12(x + 1 / x) = 47.

Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что

y² = (x +1 / x)² = x² +2 + 1 / (x²),

отсюда x² + 1 / (x²) = y² – 2. С учётом этого получаем уравнение

4(y² – 2) + 12y = 47, или 4y² + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2. 

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

2x² – 5x + 2 = 0,

x ¹ 0

или

2x² + 11x + 2 = 0,

x ¹ 0;

 

X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = (- 11 + Ö105) / 4; X4 = (-11 - Ö105) / 4        

 (все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: 2; 0,5; (- 11 + Ö105) / 4; (-11 - Ö105) / 4.

 

Пример 3.18. Решить уравнение x³ – x² – 9x – 6 = 0.

Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. “Кандидатами”  в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа

±1, ±2, ±3, ±6.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что   X = -2 является его корнем.

Разделим многочлен x³ – x² – 9x – 6 на двучлен x + 2

 

x³ – x² – 9x – 6 = (x + 2)(x² – 3x – 3) = 0.

Решив теперь уравнение x² – 3x – 3 = 0,

получаем X₂ = (3 - Ö21) / 2, X₃ = (3 + Ö21) / 2.

Ответ: xÎ {-2; (3 - Ö21) / 2; (3 + Ö21) / 2}.

 

Пример 3.19.

x³ – x² – 8x + 6 = 0.

Решение. Здесь a_n = 1, a₀ = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к.    27 – 9 – 24 + 6 = 0.

Делим (x³ – x² – 8x + 6) на (x – 3)

Получаем: x³ – x² – 8x + 6 = (x – 3)(x² + 2x – 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде (x – 3)(x² + 2x – 2) = 0. Отсюда находим, что x₁ = 3 — решение, найденное подбором, x_2,3 = – 1 ± Ö3 — из уравнения x² + 2x – 2 = 0.

Ответ: x₁ = 3; x_2,3 = – 1 ± Ö3.

 

Пример 3.20.

4x⁴ + 8x³ + x² – 3x – 1 = 0.

Решение. Здесь a_n = 4, a₀ = –1. Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел:  ± 1; ± 0,5; ± 0,25 (делители 4 есть ±1; ±2; ±4, делители (– 1) есть  ± 1). Если x = +1, то    4 + 8 + 1 – 3 – 1 ¹ 0; если  x = – 0,5, то  

4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень уравнения. Делим 

(4x⁴ + 8x³ + x² – 3x – 1) на (x + 0,5):

Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x³ + 6x² – 2x – 2) = 0.

Отсюда x₁ = – 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x³ + 6x² – 2x – 2 = 0, т.е.                  2x³ + 3x² – x – 1 = 0. Аналогично находим корень этого уравнения: x = – 0,5. Снова делим.

Имеем: (x + 0,5)(2x² + 2x – 2) = 0. Отсюда x₂ = – 0,5 и x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.

Ответ: x₁ = x₂ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.

 

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x³ + 3x² – x – 1 = 0 следует:

2x³ + 3x² – x – 1 = 2x³ + x² +2x² + x – 2x – 1 = 2x²(x + 0,5) + 2x(x + 0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x² + 2x – 2) = 0.

x₁ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.