Логарифмическая функция

Определение:   Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , то бы получить число .

Формулу  (где ,  и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом   () и любых положительных  и  выполнены равенства:

1.

2.

3.

4.

5.  для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .

Перейдём к определению логарифмической функции

Пусть  – положительное число, не равное 1.

 Это функция вида

ü Число  называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).

ü Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

ü Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(log_a x)¢ =

ü Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0< a <1

ü Логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

ü При любом основании a >0, a ¹1, имеют место равенства

log_a 1 = 0, log_a a =1.

ü При а >1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0< a <1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

при график имеет такой вид:

 

 

При график получается такой:

Глава 3.

Тождественные преобразования показательных и

Логарифмических выражений на практике.

 

Задание 1.

Вычислите:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

Решение:

1) Используя свойство степени, получим:

;

Ответ: 27

2) ;

Ответ: 9

2) Применяя свойства логарифмов и степени:

3) ;

Ответ: 24

4)

;

Ответ: 7

5)    Известно, что =1, а =0, поэтому:

.    Ответ: 0

Задание 2.

Упростите выражения:

1) ;

2) ;

3) .

Решение:

Применим свойства степени:

1) ;

Ответ:

2)  Откроем скобки и приведём подобные слагаемые:

, т.к.

Ответ:

3) Воспользуемся формулами перехода к новому основанию

Ответ:

Задание 3.

Найдите значение выражений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение:

1)   Воспользуемся свойствами логарифмов

Ответ: 2

2)

Ответ: 2

3)

Ответ: -3

4)

Ответ: 1

Задание 4.

Прологарифмируйте по основанию  выражение:

1)  при ;

2)  при , , .

Решение:

1) Согласно свойствам логарифма:

Ответ:

2)

Ответ: .

 

Задание 5.

Найдите , если:

1) ;

2) .

Решение:

1) Применяя свойства логарифмов:

Ответ: 108

2)

.

Ответ: .

 

Задание 6.

Известно, что . Найти .

Решение:

Домножим и разделим выражения, стоящие под знаком логарифма на сопряженные:

.

Ответ: .

 

Задание 7.

Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

Решение:

1) Перейдём к основанию 2 в обеих частях уравнения

Ответ: -2; 4

2) Число 2,25 запишем в виде обыкновенной дроби

, так как , то , получаем, что

Ответ: 0,25

4)   Применим свойства логарифмов

.

Ответ: .

Заключение

 

В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений» мною было рассмотрено введение данного материала в обучение в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Тема тождественных преобразований, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому о преобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при изучении математики.

В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверки знаний учащихся.

 

Список использованной литературы:

1. «Математический анализ» Н.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд

Изд. «просвещение», М.:1969 г.

2. Ильин «Основы Математического анализа», М.: 2004 г.

3. Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Просвещение, 1991г.

4. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике (решение задач). Уч.пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г.

5. Зорич В.А. «Математический анализ» для студентов физ.-мат. Факультетов, М.: 2007 г.

6. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1985г.

7. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А.Н. Колмогорова

8. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса» Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбург.